ma mère m'a dit

Je n'y connaît rien alors en attendant un spécialiste. Je crois qu'il s'agit là de géométrie projective.

Tout le problème se situe dans ce que ta mère entend par "à l'infini".

Imagine deux droites sécantes. Puis incline progressivement l'une d'entre elle.
Le point d'intersection va s'éloigner progressivement au fur et à mesure que les droites vont devenir "de plus en plus parallèles".
A la position limite où les droites sont parallèles, le point s'intersection sera parti "à l'infini".

La géométrie euclidienne ne matérialisant pas cette idée, la géométrie dite "projective" a fait son apparition, et dans cette géométrie deux droites parallèles se coupent en un point appellé "le point à l'infini".

Donc ta mère a raison en géométrie projective, et faux en géométrie euclidienne.

En géométrie euclidienne de pure de dure, il n'y a pas d'infini, et l'affiramtion n'a pas de sens.

Par contre, on peut définit un infini, et dire que les droites parallèlles s'y coupent. Voici comment on définit un infini sur R.

Tu considère un élément $\intfy$ qui n'est pas dans $\R$, et tu regardes l'ensemble $\R\cup\infty$. Tu commences par étendre la relation d'ordre existante sur $\R$ à ce nouvel ensemble en définissant $\infty>x$ pour tout $x\in\R$.
Ensuite, tu définit une topologie en disant qu'un ouvert de $\R\cup\infty$ est un ensemble tel que le complémentaire soit un compact pour la topologie de $\R$. Pour cette topologie, l'espace $\R\cup\infty$ est compact, et est l'adhérence du sous-ensemble $\R$.

Voila. Ça c'est le genre de trucs qu'on fait pour ajouter un infini sur la droite réelle. On peut faire le même genre de chippot sur $\R^2$, en définissant tout un cercle à l'infini, et alors on définit deux parallèles comme étant des droites qui se coupent en un point de ce cercle.
En fait, le cercle à l'infini n'a rien de spécial. Comme tu le vois dans l'exemple que j'ai donné à une dimension, si tu prends un ouvert autour de zéro, le complémentaire sera compact dans $\R\cup\infty$, exactement comme en prenant un ouvert autour de l'infini !

Pour dire mieux, je passe parole à un *vrai* connaisseur de géométrie projective.

Bonne semaine
Laurent

On ajoute à $\R^2$ des points, un point par direction de droite de $\R^2$.
On obtient la plan projectif réel $\hbox{P}_2(\R)$.
On appelle droite de $\hbox{P}_2(\R)$ une droite affine $D$ de $\R^2$ auquel on ajoute le point à l'infini correspondant à sa direction. Il faut aussi considéré comme droite le sous-ensemble formé de tous les points à l'infini (on l'appelle {\bf la droite de l'infini}).
{\bf Alors 2 droites distinctes quelconques de $\hbox{P}_2(\R)$ se coupent en un point et un seul.}

Si on complète 2 droites distinctes parallèles de $\R^2$ en ajoutant à chacune le point à l'infini correspondant à sa direction, alors l'intersection des 2 droites projectives ainsi obtenues est ce point à l'infini.

Ca me parait logique de rajouter à l'infini un point par direction. Par contre ca me parait logique aussi de ne rajouter qu'un point (un peu comme la sphère privée d'un point peut être assimilé à un plan). Alors pourquoi l'un et pas l'autre ?<BR>

En géométrie euclidienne de pure de dure, il n'y a pas d'infini, et l'affiramtion n'a pas de sens.

Par contre, on peut définit un infini, et dire que les droites parallèlles s'y coupent. Voici comment on définit un infini sur R.

Tu considère un élément $\intfy$ qui n'est pas dans $\R$, et tu regardes l'ensemble $\R\cup\infty$. Tu commences par étendre la relation d'ordre existante sur $\R$ à ce nouvel ensemble en définissant $\infty>x$ pour tout $x\in\R$.
Ensuite, tu définit une topologie en disant qu'un ouvert de $\R\cup\infty$ est un ensemble tel que le complémentaire soit un compact pour la topologie de $\R$. Pour cette topologie, l'espace $\R\cup\infty$ est compact, et est l'adhérence du sous-ensemble $\R$.

Voila. Ça c'est le genre de trucs qu'on fait pour ajouter un infini sur la droite réelle. On peut faire le même genre de chippot sur $\R^2$, en définissant tout un cercle à l'infini, et alors on définit deux parallèles comme étant des droites qui se coupent en un point de ce cercle.
En fait, le cercle à l'infini n'a rien de spécial. Comme tu le vois dans l'exemple que j'ai donné à une dimension, si tu prends un ouvert autour de zéro, le complémentaire sera compact dans $\R\cup\infty$, exactement comme en prenant un ouvert autour de l'infini !

Pour dire mieux, je passe parole à un *vrai* connaisseur de géométrie projective.

Bonne semaine
Laurent

Ben en fait.. non ! La sphère de Riemann $\widehat{\C}=\C \cup \{ \infty \}$ est une droite affine complexe + un point à l'infini, donc une droite projective complexe $P^1(\C)$. C'est sûrement ce que tu voulais dire Gillian Seed.


Mais le plan projectif réel $P^2(\R)$ c'est le plan affine réel $\R^2$ (qui ressemble à $\C$ je veux bien) + une droite projective à l'infini et pas seulement un point ! Autrement dit dans le premier cas on considère un seul point à l'infini, et dans l'autre on considère un point à l'infini par direction (de droite réelle). La "formule" pour décrire un espace projectif à l'aide d'un espace affine de même dimension est $P^n ( \mathbb{K} ) = \mathbb{K} + P^{n-1} ( \mathbb{K} )$ ; c'est plutôt un moyen mnémotechnique qu'une formule qui a un sens mathématique précis.


PS : topologiquement les deux surfaces $P^1(\C)$ et $P^2(\R)$ n'ont rien à voir : la première est comme son nom l'indique une sphère, en particulier elle est orientable ce qui n'est pas le cas de la seconde. En revanche elles sont toutes deux compactes.

Diable, ma langue a fourché.
Je n'avais pas encore mangé, c'est surement pour ça.
Je projette de corriger mes copies de secondes pour cet après-midi.