Limite en $0^+$

mathspe
Modifié (March 2022) dans Analyse
Bonjour, je bloque sur la question suivante depuis hier. Je serais reconnaissant si vous pouviez m'aider.
Considérons la fonction suivante dite fonction d'erreur complémentaire $f(x)=\int^\infty_x \exp(-t^2)dt, x>0$.
Par Maple on a $\lim_{t\to 0^+} t\Big[\sum^\infty_{m=0} (1+m) f\big((1+m)\sqrt{t}\big)\Big]=0$. 
Ci-dessous le développement

asymptotique de $f$ au voisinage de $+\infty$.
Merci d'avance

Réponses

  • bisam
    Modifié (March 2022)
    Tu donnes le développement de $f$ au voisinage de $+\infty$ mais tu parles de limite en $0^+$... il doit y avoir un problème dans ton énoncé.
    Peux-tu vérifier ton énoncé et préciser ta question ?
  • Bonjour @bisam. J'ai donné le développement en $+\infty$ pour justifier la convergence de la série, après je cherche à calculer la limite en $0^+$ de la somme.
  • J'ai oublié un $t$, maintenant mon énoncé est bon.
  • Et tu conjectures que cette limite est nulle ? Bizarre...
  • Bonjour@JLapin. Par Maple le résultat est 0 et par Mathematica ,il dit que la somme ne converge
  • C'est la fameuse limite des calculateurs formels :)
  • La limite de f en 0+ est l’intégrale de Gauss $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 
  • mathspe
    Modifié (March 2022)
    Bonjour @etanche, je  veux  la limite de  $$t\Big[\sum^\infty_{m=0} (1+m) f\big((1+m)\sqrt{t}\big)\Big]$$ quand $t\to 0^+$.
  • JLapin
    Modifié (March 2022)
    Je crois qu'on trouve $\frac{\sqrt \pi}{8}$ par comparaison série - intégrale (confirmé numériquement).
  • mathspe
    Modifié (March 2022)
    Merci@JLapin. Tes calculs sont bons sauf je bloque sur la décroissance de la fonction $x\mapsto xf(x)$.
    Peux-tu me dire pourquoi ?  Merci.
  • Pourquoi cette fonction ?
    Celle que j'utilise n'est pas monotone mais la comparaison série intégrale fonctionne tout de même.
  • mathspe
    Modifié (March 2022)
    J'ai utilisé la décroissance. Et j'ai établi le résultat.
    Peux-tu me dire ta méthode et Merci
  • Utiliser mathematica
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