Suites de Cauchy

topalg
Modifié (March 2022) dans Topologie
Bonjour
Soit $d:\mathbb{R_{+}^2}\rightarrow\mathbb{R}$ définie par  \[
d(x,y)= \Big|\frac{1}{1+x} - \frac{1}{1+y}\Big| ,\qquad \forall x,y \in \mathbb{R_{+}}
\] J'ai déjà montré que $d$ est une distance sur $\mathbb{R_{+}}$.
La question de l'exo est 
1. Montrer que $(\mathbb{R_{+}},d)$ n'est pas complet.
Je vais écrire quelques éléments de la correction.
Considérons la suite de terme général $x_{n}=n$. Alors pour tout $n\geq m > 0$, \[ d(x_{n},x_{m}) = \Big| \frac{1}{1+n} - \frac{1}{1+m}\Big| \leq \frac{1}{1+n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty]{}0
\]Autrement dit, pour tout $\epsilon$>0, il existe $N=\frac{1}{\epsilon}$ tel que pour tout $n,m\geq N$ : \[
d(x_{n},x_{m})\leq \frac{1}{1+N} = \frac{\epsilon}{1+ \epsilon} \leq \epsilon 
\]Ce qui montre que la suite $(n)_{n \in \mathbb{N^{*}}}$ est de Cauchy.
...
J'ai deux questions.
1) Comment le corrigé a fait pour trouver que $N$ doit être égal à $\frac{1}{1+\epsilon}$ ?
2) Comment le corrigé a fait pour majorer $d(x_{n},x_{m})$ par $\frac{1}{1+N}$ ?
Merci d'avance.

Réponses

  • gerard0
    Modifié (March 2022)
    Bonjour.
    1) Non, ce n'est pas ce qui est dit.
    2) si 0<a<b, alors |a-b|<b
    Cordialement.
  • j'ai fait une erreur de frappe, la première question est:
    1)Comment le corrigé a fait pour trouver que $N$ doit être égal à $\frac{1}{\epsilon}$ ?

  • A noter : $N$ n'a pas de "valeur", si on trouve une valeur possible pour $N$, on en trouve immédiatement plein d'autres.
  • Merci gerard0, grâce à ton astuce la question 2 est résolue.
  • Comment le corrigé a trouvé N ? simplement en voyant l'ordre de grandeur de $\frac 1{1+n}$. Au brouillon, on essaie $\varepsilon = \frac 1 n$ et comme ça marche on conserve.
    Lire des corrigés n'a d'intérêt que si on a vraiment essayé de résoudre. Et compris la démarche.

    NB :  Aucune astuce pour la question 2, seulement une évidence de lycéen qui rencontre la valeur absolue d'une différence.
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