Exercice sur les suites de Cauchy

topalg
topalg
Modifié (March 2022) dans Topologie
Bonsoir
Je considère l'application $d:\ \mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R}$ définie par $\quad d(x,y)=| e^{x} - e^{y}|,\quad   \forall x, y \in \mathbb{R}. $

J'ai déjà montré que l'application $d$ est une distance sur $\mathbb{R}$. Maintenant, j'aimerais montrer que la suite $(-n)$ est une suite de Cauchy pour $d$. Comme je ne sais pas comment m'y prendre, est-ce que vous pourriez m'aider à faire cela ?
Merci d'avance.

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Modifié (March 2022)
    Tu peux utiliser que la suite $(e^{-n})_{n\in \N}$ est convergente (pour la distance usuelle sur $\R$), donc en particulier elle est de Cauchy (pour la distance usuelle sur $\R$).
  • topalg
    topalg
    MrJ: avec ton raisonnement, je ne vois pas comment j'aurai montré que la suite $(-n)_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy pour d.
  • JLapin
    JLapin
    Ecris donc la phrase quantifiée à démontrer.
  • topalg
    topalg
    Modifié (March 2022)
    Il faut essayer de montrer que
    \[ \forall \epsilon>0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n_{1},n_{2}>N,\quad |e^{-n_{1}} - e^{-n_{2}}| < \epsilon \]
    C'est correct ?
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (March 2022)
    Oui.
    Et c'est facile à montrer, la distance entre deux positifs étant inférieure au plus grand des deux.
    Cordialement.
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