Équation différentielle

un_kiwi
un_kiwi
Modifié (March 2022) dans Analyse
Bonjour,
J'aimerais résoudre l'équation différentielle $y'=y^2+1$, mais je ne vois pas comment faire.
Merci d'avance pour votre aide !

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Modifié (March 2022)
    Bonjour.
    Équation à variables séparables.
    Cordialement.
  • un_kiwi
    un_kiwi
    Modifié (March 2022)
    D'accord mais le "$+1$" me gêne, je n'arrive pas à le gérer...
    Je suis arrivé à
    $\displaystyle \forall x_0\in \mathbb{R}, \ \forall x>x_0,\qquad \int_{x_0}^x \frac{y'}{y^2+1}\ {\rm d} t = x-x_0$.
    Mais j'ai un blocage sur la primitive du membre de gauche. Elle est presque égale, à une constante multiplicative près à la dérivée de $y^2+1$, mais il manque $y$. Ça à l'air tout bête mais je bloque dessus...
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    $\int \frac{dx}{1+x^2}=?$
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • un_kiwi
    un_kiwi
    Modifié (March 2022)
    Ok effectivement c'était tout bête !
    En conclusion je trouve $\arctan(y)=x-x_0$ donc $y=\tan(x-x_0)$, avec $x_0$ une constante arbitraire.
    Merci beaucoup !
  • un_kiwi
    un_kiwi
    Et pourvu que pour tout $x$, $x-x_0$ appartienne au domaine de définition de la fonction tangente !
  • un_kiwi
    un_kiwi
    Modifié (March 2022)
    nicolas.patrois a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2344287/#Comment_2344287
    Par contre, j'ai un petit problème de rigueur concernant les bornes.
    $\displaystyle \int_{x_0}^x \frac{y'}{1+y^2}\ {\rm d} t = \int_{?}^? \frac{{\rm d} y}{1+y^2}$
    Comment y remédier ?
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Quand tu changes de variable.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • un_kiwi
    un_kiwi
    Modifié (March 2022)
    Ok, du coup je dois avoir en posant $u=y$, avec $y:=y(x)$ et $y_0:=y(x_0)$
    $\displaystyle \int_{y_0}^y \frac{1}{1+u^2}\ {\rm d} u$.
  • un_kiwi
    un_kiwi
    Juste par curiosité, y a-t-il un moyen de résoudre une telle équation différentielle ?
  • JLapin
    JLapin
    Que signifie pour toi "résoudre cette équation" en fait ?
    Quand tu auras répondu à cette question, tu auras fait la moitié du chemin.
  • un_kiwi
    un_kiwi
    Et bien trouver une solution à l'équation différentielle $y'=1+y^2$.
  • JLapin
    JLapin
    La fonction $\tan$ est une solution.
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (March 2022)
    A priori, "résoudre" n'est pas "trouver une solution", mais "trouver l'ensemble des solutions". Maintenant, Un_kiwi, qu'est-ce qu'une solution ?
    Cordialement.
  • un_kiwi
    un_kiwi
    Effectivement, je me suis un peu hâté. Une solution est une fonction vérifiant cette équation différentielle, mais où voulez-vous en venir, je ne comprends pas.
  • evariste21
    evariste21
    Modifié (March 2022)
    Nous trouvons la solution générale de l'équation différentielle :
    $$\begin{align}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}&=y^{2}+1\\ \int \frac{1}{y^{2}+1}{\rm d}y&=\int {\rm d}t\\ \arctan(y)&=t+C\\ y(t)&=\tan(t+C) \end{align}.$$
    Aucune de ces solutions n'est constante. Pour le problème associé $\begin{cases} y'(t)=y^{2}(t)+1\\ y(t_{0})=y_{0},\end{cases}$ il existe un unique $\alpha\in\, ]{-}\pi/2,\pi/2[$ tel que $y(t)=\tan(t-t_{0}+\alpha)$. Alors, on peut voir que $y(t)=\tan(t)$ c'est une solution maximale en $]{-}\pi/2,\pi/2[$.
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (March 2022)
    Un_kiwi,
    tu as trouvé l'ensemble des solutions possibles de cette équation, puis tu as demandé "Juste par curiosité, y a-t-il un moyen de résoudre une telle équation différentielle ?" Comme c'était contradictoire avec ce que tu avais dit précédemment, on a essayé de comprendre de quoi d'autre tu veux parler.
    "où voulez-vous en venir, je ne comprends pas." À répondre aux questions que tu as écrites. Comme ça ne peut pas être ce que disait ta phrase, on a essayé de décoder.
    Finalement, ta question était une idiotie, non ???
    Cordialement.
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (March 2022)
    un_kiwi a dit :
    Où voulez-vous en venir, je ne comprends pas.
    Au fait que tu poses une question dont tu sembles ne pas comprendre les termes et la portée. As-tu déjà entendu parler de solution maximale ? Du théorème de Cauchy-Lipschitz (non linéaire) ? Quel est ton niveau d'étude ?
  • un_kiwi
    un_kiwi
    Bonjour, oui je me rends compte que j'ai oublié de taper un mot, je voulais dire "y a-t-il un autre moyen de résoudre cette équation différentielle".
  • JLapin
    JLapin
    Et je repose ma question : as-tu déjà entendu parler de solution maximale ? Quel est ton niveau d'étude ?
  • un_kiwi
    un_kiwi
    Mon niveau d'étude s'arrête en L3. J'ai déjà entendu parler de solution maximale, c'est une solution définie sur un intervalle qui n'admet pas d'autre prolongement qu'elle-même.
  • JLapin
    JLapin
    Dans ce cas, tu peux sortir de ton chapeau une famille de solutions, vérifier qu'elles sont maximales et qu'elles couvrent toutes les conditions initiales possibles.
    Tu auras alors résolu l'équation car le théorème de Cauchy-Lipschitz te dis qu'il n'y a pas d'autres solutions maximales.
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