Équation différentielle
Réponses
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Bonjour.Équation à variables séparables.Cordialement.
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D'accord mais le "$+1$" me gêne, je n'arrive pas à le gérer...Je suis arrivé à$\displaystyle \forall x_0\in \mathbb{R}, \ \forall x>x_0,\qquad \int_{x_0}^x \frac{y'}{y^2+1}\ {\rm d} t = x-x_0$.Mais j'ai un blocage sur la primitive du membre de gauche. Elle est presque égale, à une constante multiplicative près à la dérivée de $y^2+1$, mais il manque $y$. Ça à l'air tout bête mais je bloque dessus...
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$\int \frac{dx}{1+x^2}=?$
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Ok effectivement c'était tout bête !En conclusion je trouve $\arctan(y)=x-x_0$ donc $y=\tan(x-x_0)$, avec $x_0$ une constante arbitraire.Merci beaucoup !
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Et pourvu que pour tout $x$, $x-x_0$ appartienne au domaine de définition de la fonction tangente !
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$\displaystyle \int_{x_0}^x \frac{y'}{1+y^2}\ {\rm d} t = \int_{?}^? \frac{{\rm d} y}{1+y^2}$Comment y remédier ?
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Quand tu changes de variable.
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Ok, du coup je dois avoir en posant $u=y$, avec $y:=y(x)$ et $y_0:=y(x_0)$$\displaystyle \int_{y_0}^y \frac{1}{1+u^2}\ {\rm d} u$.
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Juste par curiosité, y a-t-il un moyen de résoudre une telle équation différentielle ?
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Que signifie pour toi "résoudre cette équation" en fait ?Quand tu auras répondu à cette question, tu auras fait la moitié du chemin.
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Et bien trouver une solution à l'équation différentielle $y'=1+y^2$.
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La fonction $\tan$ est une solution.
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A priori, "résoudre" n'est pas "trouver une solution", mais "trouver l'ensemble des solutions". Maintenant, Un_kiwi, qu'est-ce qu'une solution ?Cordialement.
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Effectivement, je me suis un peu hâté. Une solution est une fonction vérifiant cette équation différentielle, mais où voulez-vous en venir, je ne comprends pas.
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Nous trouvons la solution générale de l'équation différentielle :
$$\begin{align}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}&=y^{2}+1\\ \int \frac{1}{y^{2}+1}{\rm d}y&=\int {\rm d}t\\ \arctan(y)&=t+C\\ y(t)&=\tan(t+C) \end{align}.$$
Aucune de ces solutions n'est constante. Pour le problème associé $\begin{cases} y'(t)=y^{2}(t)+1\\ y(t_{0})=y_{0},\end{cases}$ il existe un unique $\alpha\in\, ]{-}\pi/2,\pi/2[$ tel que $y(t)=\tan(t-t_{0}+\alpha)$. Alors, on peut voir que $y(t)=\tan(t)$ c'est une solution maximale en $]{-}\pi/2,\pi/2[$.
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Un_kiwi,tu as trouvé l'ensemble des solutions possibles de cette équation, puis tu as demandé "Juste par curiosité, y a-t-il un moyen de résoudre une telle équation différentielle ?" Comme c'était contradictoire avec ce que tu avais dit précédemment, on a essayé de comprendre de quoi d'autre tu veux parler."où voulez-vous en venir, je ne comprends pas." À répondre aux questions que tu as écrites. Comme ça ne peut pas être ce que disait ta phrase, on a essayé de décoder.Finalement, ta question était une idiotie, non ???Cordialement.
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un_kiwi a dit :Où voulez-vous en venir, je ne comprends pas.
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Bonjour, oui je me rends compte que j'ai oublié de taper un mot, je voulais dire "y a-t-il un autre moyen de résoudre cette équation différentielle".
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Et je repose ma question : as-tu déjà entendu parler de solution maximale ? Quel est ton niveau d'étude ?
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Mon niveau d'étude s'arrête en L3. J'ai déjà entendu parler de solution maximale, c'est une solution définie sur un intervalle qui n'admet pas d'autre prolongement qu'elle-même.
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Dans ce cas, tu peux sortir de ton chapeau une famille de solutions, vérifier qu'elles sont maximales et qu'elles couvrent toutes les conditions initiales possibles.Tu auras alors résolu l'équation car le théorème de Cauchy-Lipschitz te dis qu'il n'y a pas d'autres solutions maximales.
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Bonjour!
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