Suite récurrente

Balix
Balix
Modifié (February 2022) dans Algèbre
Bonjour
Au détour d'un exercice, je suis tombé sur une suite récurrente $u_{n+1} =2 u_n + 2^n$  avec $u_0=0$
En bricolant un peu, j'ai trouvé une suite $v_n = u_n -2^n$ qui me ramène au système :  $\begin{cases} & u_{n+1}= 3u_n - v_n \\ & v_{n+1}=u_n + v_n \\ \end{cases}$
En trigonalisant la matrice $\begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 1& 1 \\ \end{pmatrix}$ , je tombe sur $ T =\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 0&2 \\ \end{pmatrix}$ ,
et pour calculer sa puissance n-ième, je tombe pour le coefficient en haut à droite sur la relation de récurrence ....
$u_{n+1} = 2u_n + 2^n$.
Je m'en sors avec $T-I$ qui est nilpotente d'ordre $2$ et je trouve $u_n = n2^{n-1}.$
Ça me semble un peu artisanal, est-ce qu'il y a une méthode plus générale pour traiter ce genre de suites ? Ou bien c'est ça la méthode, se ramener à un système linéaire ? Ou une méthode astucieuse qui permet de pas passer par les matrices ?

Réponses

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Tu peux étudier les premiers termes et si tu reconnais le terme général, tu peux le démontrer avec une récurrence.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Chaurien
    Chaurien
    Sinon, inutile de faire tout ça. Ramène $u_{n+1} =2 u_n + 2^n$  à un télescopage $w_{n+1} = w_n + a_n$, en multipliant par ce qu'il faut.
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    En posant $u_n = v_n.2^{n-1}$, le résultat est trivial
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • P.
    P.
    Mort aux astuces. On resout l'equation homogene associee, Pour la solution generale, on utilise le fait que le second membre est une exponentielle. Comme pour les equations differentielles lineaires.  De la technique, des automatismes,  avant l'ingeniosite.
  • Math Coss
    Math Coss
    J'essaie de réconcilier les deux dernières propositions.
    Comme le dit P., comme pour les équations différentielles linéaires, on résout l'équation homogène associée, ce qui donne $C2^n$ comme solution générale.
    Puis on peut appliquer la méthode de variation de la constante, qui est si répandue que c'est plus une technique ou un automatisme qu'une astuce. Cela consiste à chercher $u_n$ sous la forme $v_n\cdot 2^{n}$, comme l'a suggéré Médiat_Suprème.
  • Foys
    Foys
    Modifié (February 2022)
    Balix a dit :
    Ça me semble un peu artisanal, est-ce qu'il y a une méthode plus générale pour traiter ce genre de suites ?
    Non. Il n'y a pas de méthodes générales en maths. Sinon il y aurait une méthode pour résoudre le problème de l'arrêt de Turing. Dans la pratique tu peux essayer ce que tu connaus déjà et si ça ne marche pas il faut tenter autre chose.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Boécien
    Boécien
    Modifié (February 2022)
    Dans ce cas on peut tout de même noter qu'il existe quelque chose d'assez général (vu en lisant un article sur le net et facile à démontrer) qui peut être utile d'avoir dans un coin.
    Si $(x_{n})$ satisfait la relation $x_{n+1}=u_{n}x_{n}+v_{n}$ alors pour $n\geq1$ on a  la formule en fonction de $x_0$ et des suites $u,v$
    $$x_{n}=\left(\prod_{k=0}^{n-1}u_{k}\right)x_{0}+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\prod_{i=k+1}^{n-1}u_{k}\right)v_{k}$$
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Modifié (February 2022)
    P. a dit. Mort aux astuces. 
    Ah zut, j'avais oublié, en mathématiques, il faut éviter de réfléchir et surtout ne pas enseigner à réfléchir, excusez-moi.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • P.
    P.
    'Mort aux astuces' est de la provocation, car il faut savoir son cours pour pouvoir le cas echeant s'en eloigner.  Je suis exaspere par exemple par des demandes sur le forum de calculs de primitives qui sont pourtant des cas canoniques.
  • Balix
    Balix
    Modifié (February 2022)
    Merci beaucoup pour ces réponses
    Médiat_Suprème a dit :
    En posant $u_n = v_n.2^{n-1}$, le résultat est trivial
    En effet, c'est très joli, mais ça fait vraiment parachuté si on ne connaît pas ou ne pense pas à la variation de la constante.
    @P. , oui c'est ce genre de réponse que j'attendais , si je comprends bien ce qu'il y a derrière, c'est de l'algèbre linéaire et c'est la généralisation de la méthode que j'ai utilisée dans le cas particulier (enfin pas tout à fait, mais les outils mis en jeu sont les mêmes).
    Pour ceux que ça intéresse, j'ai retrouvé tout ce que vous me dites dans une étude sur les suites récurrentes à la fin du livre d'Algèbre linéaire de Roudier.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Modifié (February 2022)
    D’ailleurs, je ne comprends pas pourquoi on n’utilise pas cette méthode pour déterminer les suites arithmético-géométriques en lycée.
    Si $\forall n\in \mathbb{N}$, $u_ {n+1}=au_n+b$ avec $a\neq 1$.
    On résout l’équation d’inconnue $r$ : $r=ar+b$.
    Par soustraction, on obtient $\forall n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}-r=a(u_n-r)$ donc la suite $u-r$ est géométrique de raison $a$ et c’est fini.
    La méthode rencontrée dans les manuels (y compris celui d’Antibi à l’époque) est imbuvable pour les élèves.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Modifié (February 2022)
    Balix a dit :
    En posant $u_n = v_n.2^{n-1}$, le résultat est trivial
    En effet, c'est très joli, mais ça fait vraiment parachuté si on ne connaît pas 
    Non, c'est "évident" avec la présence du $2^n$ (mon premier essai qui montre rapidement qu'avec $n-1$ la simplification est plus complète).
    Si vous vouliez une solution générale pour les récurrences de la forme XXX, il fallait poser la question ainsi.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Dom
    Dom
    Modifié (February 2022)
    On est en droit de se demander pourquoi l’on souhaite étudier cette équation puis que représente sa solution.
    Mais en effet, c’est bien plus agréable de travailler avec cette $astuce$ (qui en est une seulement quand on ne sait pas d’où ça sort). 
  • biely
    biely
    Modifié (February 2022)
    @nicolas.patrois
    Ta méthode est utilisée dans les manuels de maths complémentaires en terminale.
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Modifié (February 2022)
    C’est une excellente nouvelle. Ce n’était pas le cas à l’époque de la TES (ou alors, je ne suis pas tombé sur les bons manuels).
    Dom a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2342060/#Comment_2342060
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    Parce que ça serait fort sympathique si on avait une solution constante, qu’on peut déjà deviner si $0<a<1$ en étudiant numériquement la suite.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Modifié (February 2022)
    Bonjour
    tu construis un tableau (à $n$ lignes) des termes (par ordre décroissant)
    de la suite en multipliant  à chaque ligne par 2 :
    \begin{array}{rcrrc} u_n &=& 2u_{n-1} &+& 2^{n-1} \\ 2u_{n-1} &=& 2^2u_{n-2} &+& 2^{n-1} \\ 2^2u_{n-2} &=& 2^3u_{n-3} &+& 2^{n-1} \\ &\ldots\\ 2^{n-1}u_1 &=& 2^nu_0 &+& 2^{n-1} \end{array}
     Il te reste à faire la somme membre à membre des n lignes du tableau.
    Après simplification il te reste $u_n = 2^nu_0 + n2^{n-1}$ soit $$u_n = n2^{n-1}.$$
    Cordialement.
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