Limite

rosemary
rosemary
Modifié (January 2022) dans Analyse
Bonsoir, 
Comment peut-on calculer la limite suivante : quand $n\to \infty$
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{2nk+k}=\frac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}$$
Sous quelles conditions on peut faire entrer la limite à l'intérieur ?

Réponses

  • epiKx
    epiKx
    Bonsoir, 
    Pourquoi faire entrer la limite à l'intérieur ? Tu connais la série harmonique?
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (January 2022)
    Bonjour.
    Quel que soit n, l'égalité $\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{2nk+k}=\frac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}$ est vraie (factorisation de $k$ au dénominateur, séparation en produit de deux fractions, factorisation d'une somme finie).
    S'il s'agit de calculer la limite de la première somme quand $n\to +\infty$, on utilise la factorisation, puis on utilise (ou démontre) un équivalent de la deuxième ($\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}$).
    Cordialement.
  • rosemary
    rosemary
    Modifié (January 2022)
    Une série harmonique c'est :$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$mais comment l'utiliser ?
  • gerard0
    gerard0
    Est-ce que tu connais un équivalent ? Ou la majoration par une intégrale ?
  • rosemary
    rosemary
    Non!
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (February 2022)
    Alors compare les aires sous les courbes de la fonction $f : x\mapsto \frac 1{x-1}$ et $g$, constante par intervalles, qui vaut $\frac 1 n$ sur $[n,n+1[$ pour chaque $n$ entier naturel non nul.
    Bon travail !
    NB : C'est du classique de L1, et tu sembles faire des études de niveau très supérieur !! Tu peux aussi chercher sur internet avec "série harmonique".
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonsoir

    ta somme algébrique s'écrit :

    $\frac{1}{2n+1}\Sigma_{k=1}^{n}[1+\frac{1}{k}]$ soit encore

    $\frac{n}{2n+1} + \frac{1}{2n+1}\Sigma_{k=1}^n\frac{1}{k}$

    ta première fraction tend vers 1/2 pour n infini
    et ta seconde expression pour n grand est équivalente à $\frac{ln(n)}{2n+1}$ qui tend vers 0 pour n infini

    la limite est donc 1/2

    Cordialement
  • gebrane
    gebrane
    Comment démontrer que $H_n\sim \ln n$ sans faire mention d'une integrale
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Dom
    Dom
    Hum… $\ln$ est défini par une intégrale. 
    Sauf à jouer avec la réciproque de $\exp$. 
  • gebrane
    gebrane
    @Dom On peut le démontrer par la règle de l’hôpital discrète.
    Qui peut faire mieux?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Dom
    Dom
    Ha, je ne connais pas bien. 
  • gebrane
    gebrane
    Cherche sur le net  Stolz-Cesàro 
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


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