Limite

rosemary
Modifié (January 2022) dans Analyse
Bonsoir, 
Comment peut-on calculer la limite suivante : quand $n\to \infty$
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{2nk+k}=\frac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}$$
Sous quelles conditions on peut faire entrer la limite à l'intérieur ?

Réponses

  • Bonsoir, 
    Pourquoi faire entrer la limite à l'intérieur ? Tu connais la série harmonique?
  • gerard0
    Modifié (January 2022)
    Bonjour.
    Quel que soit n, l'égalité $\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{2nk+k}=\frac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}$ est vraie (factorisation de $k$ au dénominateur, séparation en produit de deux fractions, factorisation d'une somme finie).
    S'il s'agit de calculer la limite de la première somme quand $n\to +\infty$, on utilise la factorisation, puis on utilise (ou démontre) un équivalent de la deuxième ($\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}$).
    Cordialement.
  • rosemary
    Modifié (January 2022)
    Une série harmonique c'est :$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$mais comment l'utiliser ?
  • Est-ce que tu connais un équivalent ? Ou la majoration par une intégrale ?
  • gerard0
    Modifié (February 2022)
    Alors compare les aires sous les courbes de la fonction $f : x\mapsto \frac 1{x-1}$ et $g$, constante par intervalles, qui vaut $\frac 1 n$ sur $[n,n+1[$ pour chaque $n$ entier naturel non nul.
    Bon travail !
    NB : C'est du classique de L1, et tu sembles faire des études de niveau très supérieur !! Tu peux aussi chercher sur internet avec "série harmonique".
  • Bonsoir

    ta somme algébrique s'écrit :

    $\frac{1}{2n+1}\Sigma_{k=1}^{n}[1+\frac{1}{k}]$ soit encore

    $\frac{n}{2n+1} + \frac{1}{2n+1}\Sigma_{k=1}^n\frac{1}{k}$

    ta première fraction tend vers 1/2 pour n infini
    et ta seconde expression pour n grand est équivalente à $\frac{ln(n)}{2n+1}$ qui tend vers 0 pour n infini

    la limite est donc 1/2

    Cordialement
  • Comment démontrer que $H_n\sim \ln n$ sans faire mention d'une integrale
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Hum… $\ln$ est défini par une intégrale. 
    Sauf à jouer avec la réciproque de $\exp$. 
  • @Dom On peut le démontrer par la règle de l’hôpital discrète.
    Qui peut faire mieux?
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  • Ha, je ne connais pas bien. 
  • Cherche sur le net  Stolz-Cesàro 
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