Astuce pour dérivée d'un produit matriciel ?

Hob___
Hob___
Modifié (January 2022) dans Analyse
Bonjour.

Comment pourrait-on calculer astucieusement la dérivée par rapport à $x \in \mathbb{R}^{n}$ de produits matriciels mettant en jeu $x$ multiplié matriciellement à d'autres matrices à droite et à gauche ? Par exemple ici :


Je vois bien que $x^{T}Ax=\sum_{i} \sum_{j} A_{i}^{j} u_i u_j$ et donc que la dérivée par rapport à $x_k$ est $2 \sum_{i} A_{i}^{k} u_i$ et donc que la $k$-ième valeur du gradient est la $k$-ième valeur de $2Ax$, mais n'y a-t-il pas plus simple pour arriver à ce résultat ?
Il me semblait qu'il y avait une méthode plus simple puisque mon professeur semblait calculer directement la dérivée par rapport à $u$ de choses comme $u^{T}AWAu - \lambda (u^{T}Au - 1)$, ou $BAu+2u$. Est-ce le cas ? Peut-on calculer dérivée par rapport à $u \in \mathbb{R}^{n}$ directement, ou du moins plus facilement ? Y a-t-il une "méthode" ou une façon de voir les choses particulière à avoir ?
Merci d'avance.

Réponses

  • bd2017
    bd2017
    Modifié (January 2022)
    Bonjour
    Il faut revenir à la définition  $f(x+h)= f(x) +  f'(x) . h  + o(h)...$   Il suffit donc  de développer $f(x+h)$ et d'identifier chaque terme.
    La CQC  c'est quoi ?
     
  • Hob___
    Hob___
    Modifié (January 2022)
    Je pense que mon professeur devait utiliser un moyen plus simple puisqu'il trouvait les résultats directement alors que développer $f(x+h)$ prend tout de même plusieurs lignes. Mais effectivement, si on revient aux formules basiques, on retrouve toujours l'expression de la dérivée. Condition de Qualification des Contraintes désigne dans cet extrait la liberté de l'ensemble des $\nabla g_i(x)$ où les $g_i$ sont les contraintes. Si d'autres personnes voient s'il existe une astuce spécifique à ces cas-là de dérivées d'expressions avec des produits matriciels, je suis preneur.
  • bd2017
    bd2017
    Modifié (January 2022)
    Heu!!! Développer l'identité remarquable   $(X+H)^t A (X + H)$ prend  plusieurs lignes !     Cela se fait de tête et ton "professeur" donne le terme linéaire immédiatement i.e   $f'(X)(H)= H^t A X +  X^t A H  = 2 X^t A H . $   
     
  • Hob___
    Hob___
    Pas de guillemets à professeur s'il vous plaît. Merci tout de même de votre réponse même si vous n'avez pas pu vous empêcher la désagréable pédantise et affectation indignée dont usent tant de "professeurs" (et cette fois il y a des guillemets), qui s'étonnent ensuite que tant de leurs élèves se désintéressent de cette discipline.
  • bd2017
    bd2017
    Modifié (January 2022)
    Il n'y a pas de pédantisme dans ma remarque. D'autre part, je ne suis pas professeur.
    Si j'ai mis des guillemets pour professeur c'est parce que tu as donné l'impression qu'il utilisait quelque chose de miraculeux alors que c'est certain qu'il utilise la définition. Alors il y a une possibilité que  c'est un professeur qui balance des "trucs"  sans expliquer. Mais il y  aussi l'autre possibilité c'est qu'il l'a bien expliqué mais tu n'avais pas compris.
     
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