Base dénombrable de la topologie

Hob___
Modifié (January 2022) dans Topologie
Bonjour,
je lis dans un document que si $(X,d)$ est un espace métrique séparable, alors il est à base dénombrable. La preuve qui en est donnée me laisse perplexe. Il est écrit "si D est une partie dénombrable et dense, les boules centrées sur des points de D et à rayon rationnel strictement positif forment une base dénombrable de la topologie de X".

Mais si on a l'ensemble ${(\mathcal{B}(d_n,r))}_{r>0,n\in\mathbb{N}}$, c'est non dénombrable. Même si on prend ${(\frac{1}{n})}_{n\in\mathbb{N^{*}}}$ à la place des $({r>0})$, c'est aussi non dénombrable, non ? Puisque cela ferait $\mathbb{N}$ à la puissance $\mathbb{N}$.

Et si on fixe $r$, l'ensemble n'est plus une base.

Qu'en pensez-vous ?

Réponses

  • gerard0
    Modifié (January 2022)
    Bonjour Hob__.
    "c'est aussi non dénombrable, non ?" Tu es sûr ? (la phrase d'après est fausse, regarde mieux).
    Cordialement.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (January 2022)
    Bonjour
    J'en pense que tu t'emmêles les pinceaux : ce n'est pas dénombrable puissance dénombrable mais dénombrable fois dénombrable, ce qui est bien dénombrable.
  • Merci bien.
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