Intégrale récurrente
Bonjour à tous et bonne année...
Je ne parviens pas à établir le calcul (récurrent ou non) de cette intégrale : $$I(n) =\int_0 ^1 x^n e^x dx.$$Je trouve la relation $I(n)=e+n I(n-1)$ mais ne parviens pas à exprimer $I(n)$ en fonction de $I(1)$.
Cordialement.
Cadiou
Je ne parviens pas à établir le calcul (récurrent ou non) de cette intégrale : $$I(n) =\int_0 ^1 x^n e^x dx.$$Je trouve la relation $I(n)=e+n I(n-1)$ mais ne parviens pas à exprimer $I(n)$ en fonction de $I(1)$.
Cordialement.
Cadiou
Réponses
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Remplace ton I(n-1) par e-(n-1)I(n-2), et ainsi de suite.
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Effectivement il y a un petit souci dans ta formule de récurrence...
Tu pourrais calculer $I(1)$ ou $I(0)$ aussi ! -
Bonjour.Tu as une récurrence affine. Si tu songes aux équations différentielles, l'idée est de résoudre l'équation homogène :$I_n = n I_{n-1}$. Tu trouves $I_n = a\times n!$.Variation de la constante : tu poses $a_n = \dfrac{I_n}{n!}$.Il ne te reste plus qu'à intégrer $\ldots$e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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C'est plutôt $I_n=e-nI_n$, et il faut poser $a_n = (-1)^n \frac{I_n}{n!}$, et télescoper.
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Y aller à tâtons donne vite un bon candidat pour $I(n)$, à prouver par récurrence !
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Merci, la somme télescopique avec a(n) (Chaurien) fonctionne bien.
Cordialement
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bonsoir, je te suggère de calculer à l'aide de la formule de récurrence les 20 premiers termes de cette suite car il se passe quelque chose d'intéressant. Au passage la relation de récurrence me semble être $ I_n = e - nI_{n-1}$ (correction)
A demon wind propelled me east of the sun -
Bonjour, en fait une formule sommatoire finie pour cette intégrale est :$$I_n \; = \; e \sum_{k=0}^{n-2} (-1)^k k! \binom{n}{k} + (-1)^{n-1}n!$$Il est clair que cette formule n'est pas très passionnante. On peut vérifier que $I_4 = 9e - 24$.Edit: pour une raison que j'ignore, cette valeur s'était transformée en $9 \times 10^{-24}$; içi , $e$ est la base des logarithmes népériens...A demon wind propelled me east of the sun
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Bonjour!
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