Intégrale récurrente

cadiou
Modifié (January 2022) dans Analyse
Bonjour à tous et bonne année...

Je ne parviens pas à établir le calcul (récurrent ou non) de cette intégrale : $$I(n) =\int_0 ^1 x^n e^x dx.$$Je trouve la relation $I(n)=e+n I(n-1)$  mais ne parviens pas à exprimer $I(n)$ en fonction de $I(1)$.
Cordialement.
Cadiou

Réponses

  • Remplace ton I(n-1) par e-(n-1)I(n-2), et ainsi de suite.
  • Kolakoski
    Modifié (January 2022)
    Effectivement il y a un petit souci dans ta formule de récurrence...
    Tu pourrais calculer $I(1)$ ou $I(0)$ aussi !
  • ev
    ev
    Modifié (January 2022)
    Bonjour.
    Tu as une récurrence affine. Si tu songes aux équations différentielles, l'idée est de résoudre l'équation homogène :
    $I_n = n I_{n-1}$. Tu trouves $I_n = a\times n!$.
    Variation de la constante : tu poses $a_n = \dfrac{I_n}{n!}$.
    Il ne te reste plus qu'à intégrer $\ldots$
    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Chaurien
    Modifié (January 2022)
    C'est plutôt $I_n=e-nI_n$, et il faut poser $a_n = (-1)^n \frac{I_n}{n!}$, et télescoper.
  • Kolakoski
    Modifié (January 2022)
    Y aller à tâtons donne vite un bon candidat pour $I(n)$, à prouver par récurrence !
  • Merci, la somme télescopique avec a(n) (Chaurien) fonctionne bien.
    Cordialement
  • gilles benson
    Modifié (January 2022)
    bonsoir, je te suggère de calculer à l'aide de la formule de récurrence les 20 premiers termes de cette suite car il se passe quelque chose d'intéressant. Au passage la relation de récurrence me semble être $ I_n = e - nI_{n-1}$ (correction)
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • gilles benson
    Modifié (January 2022)
    Bonjour, en fait une formule sommatoire finie pour cette intégrale est :
    $$I_n \; = \; e \sum_{k=0}^{n-2} (-1)^k k! \binom{n}{k}  + (-1)^{n-1}n!$$
    Il est clair que cette formule n'est pas très passionnante. On peut vérifier que $I_4 = 9e - 24$.
    Edit: pour une raison que j'ignore, cette valeur s'était transformée en $9 \times 10^{-24}$; içi , $e$ est la base des logarithmes népériens...
    A demon  wind propelled me east of the sun
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