Équivalent série entière

bestM
Modifié (January 2022) dans Analyse
Bonsoir à tous
Un exercice qui me semblait assez simple :smile:
Soit $F: x \in[0,1] \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}} .$ Montrer que $F$ est continue et déterminer un équivalent de $F(1)-F(x)$ lorsque $x \rightarrow 1$. Étudier de deux façons la dérivabilité de $F$ en 1 .

Pour la continuité sur $[0,1]$ : OK.
Pour l'équivalent : je coince. J'ai essayer une comparaison à une intégrale, en encadrant $\frac1{n(n+1)}\le \frac 1{n^2}\le \frac1{n(n-1)}$ mais je n'arrive pas à aboutir. Si quelqu'un pouvait m'aider.
Pour la dérivée, je pense savoir faire une fois l'équivalent déterminé.
Merci pour votre aide,
betsM

Réponses

  • Guego
    Modifié (January 2022)
    Pour l'équivalent, j'aurais tendance à dire $F(1)-F(x) = \displaystyle \int_x^1 F'(t)dt = \displaystyle \int_x^1 \dfrac{-\ln(1-t)}{t}dt$ et à chercher un équivalent de l'intégrale, en remarquant que $\dfrac{-\ln(1-t)}{t}$ est proche de $-\ln(1-t)$ lorsque $t$ est proche de $1$.
  • Pomme de terre
    Modifié (January 2022)
    Salut ! En développant $1-x^n$ et par sommabilité :
    $$F(1) - F(x) = (1-x)\sum_{k = 0}^{+\infty} \left[\sum_{n > k} \frac1{n^2}\right] x^k$$
    De là tu devrais arriver sans trop de soucis à $F(1) - F(x) \sim - (1-x)\ln(1-x)$.
  • Merci pomme de terre.
    Pour l'équivalent, je dois procéder de quelle façon ? Je ne vois pas comment faire.
    BestM
  • En encadrant le $1/n^2$ par exemple !

    Sinon tu peux aussi suivre la méthode de Guego. Ça te fait deux solutions.
  • Boécien
    Modifié (January 2022)
    Pour l'équivalent on peut aussi essayer de séparer la série autour de $n=1/(1-x)$.
    $$\sum_{1\leq n\leq(1-x)^{-1}}\frac{1-x^{n}}{n^{2}}=(1-x)\sum_{1\leq n\leq(1-x)^{-1}}\frac{(1+x+..+x^{n-1})}{n^{2}}\sim(1-x)\sum_{1\leq n\leq(1-x)^{-1}}\frac{n}{n^{2}}\sim-(1-x)\log(1-x)\ \left(x\rightarrow1\right)$$$$\sum_{n>(1-x)^{-1}}\frac{1-x^{n}}{n^{2}}\leq\sum_{n>(1-x)^{-1}}\frac{1}{n(n-1)}=\sum_{n>(1-x)^{-1}}\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\sim(1-x)\ \left(x\rightarrow1\right)$$
     Donc
    $$\sum_{n\geq1}\frac{1-x^{n}}{n^{2}}\sim-(1-x)\log(1-x)\ \left(x\rightarrow1\right)$$
  • bestM
    Modifié (January 2022)
    OK, merci à tous.
    bestM
  • tu peux aussi te renseigner sur le dilogarithme...
    A demon  wind propelled me east of the sun
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.