Équation polynôme

OShine
Modifié (January 2022) dans Algèbre
Bonsoir,
Je cherche à résoudre l'équation $P(X)=P(1-X)$ dans $\R[X]$ en raisonnant sur les coefficients.
J'ai écrit $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ et $P(1-X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k (1-X)^k$
J'ai eu l'idée de dériver $P$ et d'évaluer en $1$.
$P'(X)= \displaystyle\sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1}$ donc $P'(1)=\displaystyle\sum_{k=1}^n  a_k$
$P'(1-X)= - \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k k (1-X)^{k-1}$ donc $P'(1-1)=a_1$
Donc $\boxed{a_2 + \cdots + a_n=0}$
$P''(X)=\displaystyle\sum_{k=2}^n k (k-1) a_k X^{k-2}$ donc $P''(1)=\displaystyle\sum_{k=2}^n  k (k-1) a_k$
$P''(1-X)=  \displaystyle\sum_{k=2}^n a_k k(k-1) (1-X)^{k-2}$ donc $P''(1-1)=2 a_2$
Ainsi $\boxed{6 a_3 + 12 a_4 + \cdots + n(n-1) a_n =0}$
Cette méthode est-elle efficace ?

Réponses

  • etanche
    Modifié (January 2022)
    Q(X)=P(X+1/2) compare Q(X) et Q(-X).

    Application ce ton exercice : 
    Determiner tous les polynômes T de R[X] tels que $T(\cos^2(x)) = T(\sin^2(x))$ pour x réel
  • bonjour Oshine; il me semble que tu commets beaucoup d'erreurs dans l'application de ton "idée"; tu confonds les 1 et les 0 et il doit y avoir des coquilles de recopiage de formule
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • bd2017
    Modifié (January 2022)
    Bonjour 
    La question a déjà été posée récemment. J' ai   rappelé à @Os d'utiliser la symétrie et la solution s'obtient sans calcul  c'est-à-dire que $p(x)$  est combinaison linéaire des  $(x-1/2)^{2 j}$ Bien entendu, @Os n'a rien compris même si  @Bisam après  moi a mis  tous les détails... mais  il n'a toujours pas compris  que $P$ (son graphe) possède un axe de symétrie et qu'il suffit de savoir qu'un  polynôme  pair à tous ses coefficients impairs  nuls.
    D'autre part chercher à trouver $p$ par le calcul de ses coefficients dans la base canonique ce n'est surement  pas une bonne méthode mais pourquoi  ne pas essayer bêtement et se rendre compte concrètement que le calcul est trop compliqué. 
    Mais encore  écrire $p'(1)=p'(0)$ et encadrer le résultat de cette  ânerie, c'est une façon bien ridicule d'aller au combat avec  une grande incompétence dans le calcul.
     
  • raoul.S
    Modifié (January 2022)
    @OShine je te propose une autre méthode de résolution qui est un mix entre la tienne et celle de bd2017 (avec une pondération de 0.9 pour bd2017 :mrgreen:). Tu ne devrais pas la trouver trop difficile.

    Ci-dessous les sommes sont finies.

    1) Montrer que si $Q(X)=Q(-X)$ alors $Q$ est de la forme $Q(X)=\sum \lambda_k X^{2k}$
    2) Montrer que si $P(X)=P(1-X)$ alors $P(1/2+X)=P(1/2-X)$
    3) Soit $P$ un polynôme vérifiant $P(X)=P(1-X)$, on pose $Q(X):=P(1/2+X)$. Montrer que $Q(X)=Q(-X)$ puis en utilisant 1) en déduire que $P$ est de la forme $P(X)=\sum \lambda_k (X-1/2)^{2k}$.
  • D'accord merci je vais chercher avec ton indication Raoul.S 

    Bd2017 je méfie de tes remarques. Ce qui est évident pour toi ne l'est pas pour tout le monde. 
    La dernière question de centrale sur laquelle je bloquais tu disais que c'était facile alors que le rapport du jury a dit que c'était la question la plus difficile du sujet.


  • bd2017
    Modifié (January 2022)
    Il y en a marre de tes rapport de jury.  Je  dis simplement qu'une fonction de $\R$ dans $\R$  qui vérifie  $f(x)=f(1-x)$  a son graphe qui admet $x=1/2$ comme axe de symétrie et qu'un professeur certifié susceptible d'enseigner au lycée doit le savoir au risque de passer pour un âne devant ses élèves plus malins. 
    Autrement dit en translatant l'axe  $x=0$   jusque l'axe $x=1/2$  la fonction  devient paire. Un point c'est tout. 
    Le pire dans l'histoire, c'est qu'après les détails donnés par @bisam,  tu avais dit avoir compris ;  mais tu montres ici que tu n'as rien compris.
    Que vises tu ?  L'agrégation.   Je n'y crois pas du tout sauf que tu es en droit de croire que c'est possible car tu as eu le Capes avec un niveau très faible pour enseigner correctement.
    Ou alors, je me demande si tu ne cherches pas ici des explications   pour les exercices que tu que tu donneras en colle.
    De toute façon depuis que tu demandes de l'aide sur les forums, tu ne  progresses pas du tout. 
    Comme on le voit ici :  tu obtiens $a_2+\cdots+a_n= 0$  mais cela  ne te gêne pas du tout. Je n'appelle pas cela une coquille car 1000 fois on te dit de travailler sur des exemples mais 1000 fois  tu ne le fais pas. 
    Les rares fois où tu écris quelque chose de correct c'est du recopiage de corrigé.
    Alors dis-toi bien que mes remarques "ce n'est pas du chinois"  et garde tes rapports de jury pour toi,
    Remets-toi au travail correctement  avec des exercices de niveau collège (surtout de la géométrie)  et des exercices de lycée (difficiles pourquoi pas)  et où  on acceptera plus volontiers de t'aider car indirectement on aura l'impression d'aider les élèves que l'éducation nationale te confie.
    À bon entendeur, salut.
     
  • OShine
    Modifié (January 2022)
    Bisam m'a donné une technique pour trouver les vecteurs propres, pas pour résoudre $P(X)=P(1-X)$ ...

    @bd2017 en translatant elle devient paire je suis d'accord mais j'ai plus de mal à trouver l'expression explicite du polynôme. L'aide de Raoul.S m'a permis de résoudre l'exercice.

    Je ne vise pas l'agreg, je vise un meilleur niveau pour moi-même et me cultiver, pas m'encrouter à enseigner les fraction de collège pendant 10 ans et régresser intellectuellement.

    @raoul.S
    Merci beaucoup, j'ai résolu l'exercice  B)

    1) Soit $Q \in \R[X]$ alors il existe $(a_0, \cdots, a_n) \in \R^n$ tels que $Q(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$
     Supposons $Q(X)=Q(-X)$. 
    Alors $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k = \displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k X^k$ 
    Par identification des coefficients, si $k$ est impaire alors $a_{2p+1} = - a_{2p+1}$ donc $a_{2p+1}=0$
    Finalement, les termes impairs sont nuls et $\boxed{Q(X)=\displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n} a_{2k} X^{2k}}$ 
    2) Supposons $P(X)=P(1-X)$
    Alors $P(X+\dfrac{1}{2}) = P(1- (X+\dfrac{1}{2}))=P(\dfrac{1}{2} - X)$
    On a montré que $\boxed{P(X+\dfrac{1}{2}) =P(\dfrac{1}{2} - X)}$
    3) Supposons que $P(X)=P(1-X)$. Posons $Q(X)=P(\dfrac{1}{2}+X)$. 
    On a $Q(-X)=P(\dfrac{1}{2}-X)=P(\dfrac{1}{2}+X) = Q(X)$
    D'après 1), $Q(X)=\displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n} a_{2k} X^{2k}$ où les $(a_k)$ sont des réels.
    Mais $Q(X)=P(\dfrac{1}{2}+X)$ donc $P(\dfrac{1}{2}+X) = \displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n} a_{2k} X^{2k}$
    Or, $P(X)=P( \dfrac{1}{2}+X - \dfrac{1}{2})=Q(X- \dfrac{1}{2}) $ donc : $\boxed{P(X)=\displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n} a_{2k} (X-\dfrac{1}{2})^{2k}}$
  • OShine a dit 
    ...pas m'encrouter à enseigner les fraction de collège pendant 10 ans et régresser intellectuellement.
    Oui, je peux confirmer. J'ai eu une brève expérience dans l'enseignement et une chose dont je me souviens est l'atrophie progressive de mon cerveau... 🥴
  • Mais c'est vrai que l'idée repose sur l'axe de symetrie et la translation pour se ramener a l'axe des ordonnées. 
  • Par contre cette méthode ne marche pas pour résoudre $P(X)=- P(1-X)$ non ? 
  • Lol

    Tu ne vois pas que tu vas arriver à une fonction impaire, quand tu vas appliquer la même technique ?   Et tu n'as même pas fait les 2 minutes de calculs, qui t'auraient montré que ça marchait ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Juste une remarque : il est évident que les polynômes de la forme $X^k(1-X)^k$ sont solutions de la première équation et que leurs combinaisons linéaires le sont aussi.
    Il est moins simple de démontrer que ce sont les seules, mais ça donne la piste donnée de façon presque évidente.
  • Ok merci.

    Verdurin oui mais ta méthode est un peu compliquée. Je préfère celle donnée par Raoul.S.

    Supposons $Q(-X)=-Q(X)$.

    Alors $Q(X)=\displaystyle\sum_{0 \leq 2k+1 \leq n} a_{2k+1} X^{2k+1}$

    Supposons $P(X)= - P(1-X)$

    Alors $P(X +1/2)=- P(1 - (X+1/2))=- P(1/2 -X)$

    Posons $Q(X)=P(X+ 1/2)$

    On a $Q(-X)= - Q(X)$ et donc $P(X)=Q(X-1/2)$

    Finalement $\boxed{P(X)=\displaystyle\sum_{0 \leq 2k+1 \leq n} a_{2k+1} (X-\dfrac{1}{2})^{2k+1}}$ 
  • Tu supposes que Q(-X) = -Q(X) et que P(X)=-P(1-X),   c'est bien ça ?  

    On est bien d'accord que les calculs ne présentent aucune difficulté. Poster ces calculs n'a que peu d'intérêt ...   Et pourtant tu réussis à écrire ce genre de bêtises en postant tes résultats.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Oui. Je ne vois pas l'erreur. 
  • Il n'y a pas d'erreur. lourrran veut dire que les calculs sont tellement basiques qu'il n'y a pas besoin de les poster.
  • Et dans la rédaction, il y a  quand même des maladresses inacceptables.

    On a un énoncé supposé qui demande d'étudier P, vérifiant $P(X) -P(1-X)$
    Et la réponse commence par : Supposons que $Q$ vérifie ... 
    D'où vient $Q$ ???   

    Et finalement, un peu plus bas, on nous dit que le $Q$ en question, c'est :  Posons $Q(X) = $...

    Chez moi, on dit : Ce qui vaut la peine d'être fait vaut la peine d'être bien fait.
    Ici, ça ne valait pas la peine d'être fait, et en plus, c'est mal fait.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • J'ai été un peu vite et maladroit mais j'ai compris la méthode.

    @raoul.S ok merci.
  • bd2017
    Modifié (January 2022)
    Pour résumé. 
    La méthode consiste tout simplement à voir que si  P(X)=P(1-X) alors la représentation  graphique  de P admet un axe de symétrie.  Et puis utiliser ce qu'est un polynôme pair (resp. impair pour la seconde valeur propre).   Ici c'est absolument la même méthode qui avait été donnée dans le lien ci-dessous.
    On remarquera que ton dernier commentaire était que tu avais compris "la méthode très astucieuse de @Bisam"  
    Bref  rien de nouveau ici, c'est bis repetita.  Soit @Os tu avais compris  mais tu as  oublié le lendemain,
    soit tu n'as pas compris tout en pensant avoir compris.

     
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