Sommes de produits de combinaisons uniques

Bonjour.

Je cherche une généralisation.

$c_{(b)}$ est une suite quelconque.

Pour exemple et par facilité prenons $c_{(b)}$ la suite des entiers naturels.

La première formule additionne une seule combinaison facile pour commencer.

La deuxième la somme de la combinaison de deux nombres distincts multipliés par eux-mêmes.

Exemple pour a=4 on a.

$2\times1+3\times1+3\times2+4\times1+4\times2+4\times3=\frac{(1+2+3+4)^2−(1^2+2^2+3^2+4^2)}{2}$

Un autre exemple avec une combinaison de trois nombres distinct.

a=4

$3\times2\times1+4\times2\times1+4\times3\times1+4\times3\times2=\frac{(\frac{10^2−(1^2+2^2+3^2+4^2)}{2}10−10(1^2+2^2+3^2+4^2)+(1^3+2^3+3^3+4^3)}{3}$

Ça fonctionne pour une série finie divergente ou infinie convergente aussi.

$$\sum_{b=1}^{a}c_{(b)}\\\frac{(\sum_{b=1}^{a}c_{(b)})^2-\sum_{b=1}^{a}c_{(b)}^2}{2}\\\frac{\frac{((\sum_{b=1}^{a}c_{(b)})^2-(\sum_{b=1}^{a}c_{(b)}^2))}{2}\times(\sum_{b=1}^{a}c_{(b)})-(\sum_{b=1}^{a}c_{(b)})\times(\sum_{b=1}^{a}c_{(b)}^2)+(\sum_{b=1}^{a}c_{(b)}^3)}{3}.$$