Quotients $\left(\frac{a_{m}}{a_{n}}\right)_{1\leqslant n<m}$ est dense sur $]1;+\infty[$

evariste21
Modifié (December 2021) dans Analyse
Bonjour
Problème. Soit $a_{1},a_{2},\ldots$ sont des nombres réels positifs avec \begin{align}
\lim_{n\to +\infty} a_{n}=+\infty,\quad \text{et} \quad \lim_{n\to +\infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=1 \tag{1}
\end{align}Supposons aussi que $a_{1}<a_{2}<a_{3}<\ldots$. Montrer que l'ensemble des quotients $\displaystyle \left(  \frac{a_{m}}{a_{n}}\right)_{1\leqslant n<m}$
est dense sur $]1;+\infty[$.

Ma tentative.
La définition de la densité pour un sous-ensemble $\Omega$ d'un espace $X\subset \mathbb{R}$ nous dit que:
Définition:  $\Omega\subset X$ est dense dans $X$ si $$\forall \varepsilon>0,\forall x\in X,\exists a\in \Omega: |x-a|<\varepsilon$$
Travailler par reductio ad absurdum:
  • Nous supposons que: $\Omega:=\left( \frac{a_{m}}{a_n}\right)_{1\leqslant n<m}$ n'est pas dense dans $X:=]1;+\infty[$. Par conséquent, $$\neg\left(\forall \varepsilon>0,\ \forall x\in X,\ \exists a\in \Omega, \  |x-a|<\varepsilon \right)\equiv \exists \varepsilon>0,\ \exists x\in \Omega,\ \forall a\in \Omega,\ |x-a|\geqslant \varepsilon.$$
  • Tous les éléments qui sont dans $\Omega$ sont de la forme: $a:=\frac{a_{m}}{a_{n}}$, pour tous $1\leqslant n<m$.
  • Supposons qu'il existe $x>1$ et $\varepsilon>0$ tel que  $ \left| x-\frac{a_{m}}{a_{n}}\right| \geqslant \varepsilon$ pour tous $1\leqslant n<m$.
Comment puis-je continuer ? Je ne sais pas encore comment utiliser $(1)$.
Merci.

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2021)
    Considère un intervalle $]a,b[$ non vide de $[1,+\infty[$.
    Ta seconde hypothèse te permet de justifier que pour tout $n$ grand, l’écart entre $u_{n+1}$ et $u_n$ est petit.
    En combinant avec ta première hypothèse, tu peux en déduire qu’un des quotients se trouve dans $]a,b[$.
  • Chaurien
    Modifié (December 2021)
    Il y a une version additive un peu plus générale. Soient deux suites réelles $u_n$ et $v_n$ telles que $\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n= \lim_{n \rightarrow + \infty} v_n= +\infty$ et  $\lim_{n \rightarrow + \infty} (u_{n+1}-u_n)=0$. Alors l'ensemble $ E=\{u_m-u_n | m \in \mathbb R, n\in \mathbb R \}$ est dense dans $ \mathbb R$.
    C'est un peu difficile à mettre en forme.
    Un copain appelle suite à petits pas une suite réelle $u_n$ telle que  $\lim_{n \rightarrow + \infty} (u_{n+1}-u_n)=0$. Les mêmes idées interviennent pour prouver que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une telle suite est un intervalle de $ \mathbb R$. Il y a une généralisation dans les espaces métriques, encore plus pénible.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
    Edit : corrigé suivant la remarque de LP2 infra.
  • @Chaurien : Tu attises ma curiosité ; quel énoncé obtient-on dans le cadre des espaces métriques?
  • Chaurien
    Modifié (December 2021)
    Soit une suite $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ dans un espace métrique compact $(E,d)$, telle que  $\lim_{n \rightarrow + \infty} d(u_n,u_{n+1})=0$. Alors l'ensemble des valeurs d'adhérence de cette suite est connexe.
    Xavier Gourdon, Les maths en tête, Analyse, Mathématiques pour MP*, 2e édition, Ellipses 2008, p. 46.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2021)
    Merci pour le référence : en plus, j’ai le livre mais je ne me souvenais plus de cette généralisation.

    Édit : Un lien avec l’une démonstration du résultat mentionné par Chaurien : https://agreg-maths.fr/uploads/versions/945/valeur%20adherence.pdf
  • LP2
    LP2
    Modifié (December 2021)
    @ Chaurien : dans la version additive, il me semble que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ doivent tendre vers $+\infty$ et non pas vers $0$ pour que l'énoncé soit correct.
  • Merci LP2, j'ai corrigé.
  • evariste21
    Modifié (December 2021)
    Merci beaucoup pour vos réponses.  @MrJ Je ne comprends toujours pas comment utiliser l'hypothèse. J'ai fait des progrès mais je n'arrive pas à avancer. J'ai réfléchi à ce qui suit : $a_{n}$  est égal à $a_{n+1}$ asymptotiquement,
    $$\lim_{n\to +\infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=1=a_{n}\underset{+\infty}{\sim}a_{n+1} \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall n\geqslant N, \quad \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right|<\varepsilon. $$
    Cependant, je ne sais pas comment l'utiliser. De plus, il existe l'hypothèse que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} a_{n}=+\infty$ et que $(a_{n})$, suite croissante.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2021)
    Tu trouveras quelques éléments de correction dans ce document :
    http://vonbuhren.free.fr/Prepa/Colles/espaces_vectoriels_normes.pdf#page11
    C’est l’exercice 99 qui t’intéresse (les éléments de correction sont à la fin).
  • @MrJ

    Merci beaucoup, maintenant je comprends l'idée. Merci également d'avoir partagé ce document. Beaucoup de bons problèmes pour une étude plus approfondie.
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