Joyeux Noël

aléa
Modifié (December 2021) dans Vie du Forum et de ses membres
Salut à tous
On est le 25 décembre, et je crois qu'il n'y a pas eu de message de joyeux Noël.
Avec le nouveau forum, des habitudes et des habitués se perdent...
Joyeux-Noël, portez-vous bien, dans vos corps et dans vos âmes.

Réponses

  • etanche
    Modifié (December 2021)
    Quelle est l’aire de toutes les parties vertes de l’arbre de Noël fractale ?

    Joyeux Noël à vous.
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Joyeux Noël !
  • Joyeux Noël à tous, avec une pensée particulière pour ceux qui sont éloignés de leurs proches.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Bonjour,

    Joyeux Noël à tous également, et vive(nt) les Mathématiques !!

    Cordialement,
    Rescassol

  • Cidrolin
    Modifié (December 2021)
    Joyeux Noël. 
    Comme aujourd'hui, nous sommes le quintidi 5 nivôse, de l'année CCXXX du calendrier républicain, jour du chien.
    Nous pouvons célébrer Sphéroïde le chien de Cosinus.
  • Merci, et joyeux Noël à tous ! JLB
  • biely
    Modifié (December 2021)
    Joyeux Noël!

    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • Chaurien
    Modifié (December 2021)
    Joyeux Noël à tous, foie gras, champagne, arbre décoré, cadeaux, crèche, comme toujours.
    Fr. Ch.
  • Bon Noël à tous :)
    AD
  • Joyeux Noël à tous les membres du forum !
  • gebrane
    Modifié (December 2021)
    Joyeuse fêtes, entouré de ses proches.
    Joyeux Noël pour tous et toutes.
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Joyeux Noël à toutes et à tous!
    Manu.
  • Et voici mon petit cadeau:
    Convergence et somme pour $n\in\N^*$ de:
    $$\sum_{k\geq 1} \dfrac{k \text{ mod } n}{k(k+1)}$$
  • Joyeux noël à tous également!
  • Pour ma part, je vais me contenter de la convergence...
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Si on note $S(n)$ la série de Manu je trouve sauf erreur $S(\prod p_{i}^{\alpha_{i}})=\sum\alpha_{i}\log(p_{i})$ où j'utilise la décomposition de $n$ en produits de facteurs premiers.


  • Bravo Boécien, $S(n)$ vaut en effet $\ln(n)$.
  • Boécien
    Modifié (December 2021)
    Merci Manu. C'est grâce au site que j'ai découvert des propriétés de la fonction digamma qui m'a permis de proche en proche de voir ce résultat en utilisant le fait que $\sum_{k=1}^{q-1}\psi\left(\frac{p}{q}\right)+\gamma=-q\log(q)$ .
    Pour le voir sur un exemple concret simple si $n=2^{2}$
    \begin{align*}
    S(n)&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\mod2^{2}}{k(k+1)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)(4k+2)}+\frac{2}{(4k+2)(4k+3)}+\frac{3}{(4k+3)(4k+4)}\\
    &=\frac{1}{4}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1/4}-\frac{1}{k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+2/4}-\frac{1}{k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+3/4}-\frac{1}{k+1}\right)
    \end{align*}
    Il y a donc convergence et pour $x\neq1$ on a $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+x}-\frac{1}{k+1}=-\psi(1+x)-\gamma+1$ donc comme$ \psi(1+x)=\psi(x)+x^{-1}$ en utilisant la relation plus haut j'obtiens $S(n)=2\log2$...
    On peut sans doute s'affranchir de mon étape intermédiaire.
    Edit : le cas général n'est pas plus compliqué à écrire (coquilles possibles)
    \begin{align*}
    S(n)&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\mod n}{k(k+1)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(nk+1)(nk+2)}+\frac{2}{(nk+2)(nk+3)}+\cdots+\frac{n-1}{(nk+n-1)(nk+n)}\\
    &=-\frac{1}{n}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+1/n}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2/n}+\cdots+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+(n-1)/n}\right)
    \end{align*}
    En utilisant $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+x}=\psi(x)+\gamma$ cela donne $$S(n)=-\frac{1}{n}\left(\sum_{j=1}^{n-1}\psi\left(\frac{j}{n}\right)+\gamma\right)$$En utilisant la formule dérivée de celle de Gauss $\sum_{p=1}^{q-1}\psi\left(\frac{p}{q}\right)+\gamma=-q\log(q)$ j'obtiens $$S(n)=\log n$$
  • Joyeux Noël à tous !
  • Joyeux Noël à tous les membres de ce cher forum !
  • Joyeux Noël à tous.
  • Bien joué Béocien, j'avais eu une approche bien plus terre à terre:
    - pour la convergence c'est facile à cause de la majoration $\frac{k \mod n }{k(k=1)}\leq \frac{n}{k(k+1)}$.
    - pour le calcul de la somme:
    \begin{align*}
    S(n)
    &=\sum_{i=0}^{+\infty} \sum_{l=1}^{n-1} \dfrac{l}{(in+l)(in+l+1)}\\
    &=\sum_{i=0}^{+\infty} \sum_{l=1}^{n-1} l \left(\dfrac{1}{in+l} - \dfrac{1}{in+l+1} \right)\\
    &= \sum_{l=1}^{n-1} l \sum_{i=0}^{+\infty} \int_0^1 \left( x^{in+l-1}  - x^{in+l}    \right) dx\\
    &= \sum_{l=1}^{n-1} l \int_0^1  \left( \dfrac{x^{l-1}}{1-x^n} - \dfrac{x^{l}}{1-x^n}  \right)\\
    &= \sum_{l=1}^{n-1}  \int_0^1 \dfrac{1-x}{1-x^n} l x^{l-1} dx\\
    &=\int_0^1 \dfrac{\sum_{l=0}^{n-1} lx^{l-1}}{\sum_{l=0}^{n-1} x^l}\\
    &=\left[  \ln( \sum_{l=0}^{n-1} x^l )\right]_0^1\\
    &=\ln n.
    \end{align*}
    La permutation somme et intégrale se justifie en utilisant que l'intégrale du reste d'ordre n de la série tend vers 0 quand n tend vers $+\infty$.
  • Boécien
    Modifié (December 2021)
    C'est bien plus simple aussi! Joli exercice, il vient d'où Manu?
  • Joyeux Noël !  :)
  • @Boécien : c'est un pote qui m'a donné l'énoncé hier. Je crois qu'il le tire d'un putnam.

  • Boécien
    Modifié (December 2021)
    @manu : Ok, merci pour ce cadeau de Noël :)
  • gebrane
    Modifié (December 2021)
    lëon yppah

    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Le nombre de $\textbf{bits}$ formés de $1$ (…)

    c’est la nuit de Noël: un peu de tenue SVP !
  • Bonjour,
    joyeux Noël à tous également. 
    Cordialement,
    Mister Da
  • Joyeux Noël à tous !!!
    In vino veritas... On ment à l'eau. (Mme Bavasky, Le Déconomicon)

  • Bonnes fêtes :)
  • Joyeux Noël à toutes et tous.
    Jean-Louis.
  • Flora
    Modifié (December 2021)
    Hello tout le monde !
    Je vous souhaite à tous, d'excellentes fêtes de fin d'année, profitez bien   :)
    Voici mon cadeau ( vu sur Linkedin, apparemment c'était dans un restaurant )  :  


  • Bonsoir Flora La partie méchante de ton intégrale est nulle comme intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique, Je réclame mon cadeau ( tu payes l'addition)

    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Dreamer
    Modifié (December 2021)
    Bonsoir et joyeux Noël, un peu en retard.
    Concernant l'intégrale de Flora, les deux interprétations que j'ai calculées conduisent à des valeurs non nulles et différentes, il y avait d'ailleurs fort à parier que ce soit le cas.
    J'ai par contre sorti le dx de la racine.
    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • gerard0
    Modifié (December 2021)
    Flora,
    Cordialement.
  • gerard0
    Modifié (December 2021)
    Bonjour Dreamer.
    Une fois le dx sorti du radical, il n'y a qu'une seule interprétation possible : $\int_{-2}^2 \left(x^3 \cos(\frac x 2)+\frac 1 2\right)\sqrt{4-x^2}\ dx$ est une expression sans ambigüité.
    Cordialement.
  • Merci Gerard0.
    C'est effectivement la bonne interprétation, mais je suis quand même en train d'analyser ma fausse interprétation, qui me semble intéressante au demeurant.
    Au passage, pour l'une comme pour l'autre, Wolfram Alpha jette l'éponge après avoir donné bravement 5 malheureuses décimales, ce qui ne permet pas de profiter du wifi gratuit si l'on s'en tient uniquement à cela, au moins pour la bonne interprétation il est facile de rechercher les décimales suivantes, pour l'autre c'est malheureusement bien plus dur.
    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • evariste21
    Modifié (December 2021)
    Bonjour,

    Je suis un peu nouveau sur le forum mais j'ai trouvé cet endroit très agréable. Je viens constamment sur le forum pour lire vos commentaires et vos solutions aux problèmes en général, dont j'apprends beaucoup. Je profite de cette occasion pour vous souhaiter à tous une bonne et heureuse année $2022$ :) . Certes, il reste encore quelques heures avant la fin de l'année mais nous devons aller préparer la nourriture pour la fin de l'année.
  • Riemann_lapins_cretins
    Modifié (December 2021)
    Joyeux Noël et bonne année aux éminents membres de ce forum dont le niveau mathématique me bluffera toujours (parfois en mal mais surtout en bien), à mes quelques compagnons de jeux de mots, et aux disparus tombés après la MàJ.
    Que les années suivantes soient plus radieuses que les tristes précédentes pour vous toutes et tous (je me permets un optimiste surréaliste pour faire plaisir aux quelques fans de science fiction), que mes quelques passages sur le forum soient pour moi toujours aussi riches en découvertes, et que le rapport du jury nous dise que les candidats ont en grande majorité réussi leur année 2022 !
  • Merci beaucoup Gérard, je ne savais pas du tout que Dom l'avait publié !
    Et sinon yes Dreamer, il faut les 10 digits sinon pas de wifi gratuite mais votre réflexion est intéressante ;-) 

    ( PS: désolée pour la réponse tardive, je suis sous l'eau en ce moment, j'ai commencé mon 2ème stage de césure dans le luxe  et c'est chaque jour la course du matin au soir...Mais j'adore ce que je fais !)

    Aller il est l'heure d'aller dodo,
    Très belle soirée à tous, 
    F. 
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