Théorème de réarrangement de Riemann

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Réponses

  • Les mathématiciens ne manquent pas de règles très solides pour manipuler l'infini (le paradis de Cantor), c'est juste vous qui ne les connaissez pas. Vous avez plusieurs options :
    1) apprendre ces règles
    2) refuser l'infini et vous restreindre aux mathématiques finitistes, voire ultra-finitistes
    3) rejeter les mathématiques
    4) bruler les mathématiciens
    5) etc.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    zeitnot
    J'ai bien conscience que quand on dit ça, pour le moment tu nous prends pour des escrocs
    Ha ha :) .. Non, ce n'est pas ça... Mais manifestement, avec le temps, et surtout je pense l'autorité gigantesque de ceux qui les ont énoncés, vous avez fini par accepter l’inacceptable... Vous ne devez pas vous sentir insulté qu'un novice puisse vous embêter sur ça, car c'est justement parce que je suis novice que j'arrive facilement à remettre en cause le grand Riemann.
  • zeitnot
    Modifié (December 2021)
    T'inquiète, je ne me sens pas insulté du tout et tu ne m'embêtes pas. J'ai eu les mêmes interrogations que toi il y a longtemps, je trouve même ton entêtement sympathique. C'est bien d'avoir des convictions, C'est vrai que c'est très troublant de prime abord, c'est une question de recul, pas d'acceptation. Je t'invite vraiment à étudier ces notions, je trouve que c'est un aspect passionnant.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Je ne suis pas d’accord sur le « encore plus de termes ».
    Ce n’est pas parce qu’on les regroupe par trois qu’il y en a plus ou moins. 
    Il y a autant de nombre entiers que de nombres entiers multiples de mille. 
    Je rappelle quand même un théorème élémentaire mais important : avec une série de termes réels, si la série converge absolument alors elle converge commutativement. 
    C’est-à-dire que quelle que soit la manière d’arranger les termes, elle converge et en plus vers la même limite !
    Je ne sais plus si on l’a dit : 
    pour les séries semi-convergentes, on peut même s’y prendre pour réarranger les termes afin que la série diverge vers $+\infty$. 
    Et on peut même la rendre divergente non majorée et non minorée. Dans ce dernier cas, les valeurs d’adhérence sont même tous les réels.
  • Chaurien
    Modifié (December 2021)
    Mille fois d'accord avec Gerard0 : « à quoi sert de perdre son temps » avec ce genre de zozos dont l'ignorance n'a d'égale que la prétention. « Moi je n'y connais rien, mais je vais contester une démonstration de Riemann », et on passerait du temps à répondre à ça ? J'ai déjà donné mon point de vue sur ce sujet en donnant une solution très simple : qu'on cesse de leur répondre. Ainsi on gagnera du temps pour dialoguer avec ceux qui en valent la peine.
    Le problème c'est que nous sommes devenus trop bons (*) et si nous voulons survivre en tant que civilisation,  il nous faut renouer avec les valeurs fortes qui ont fait le succès de ladite civilisation. Pensons-y en ces temps de Noël et de Nouvel An grégorien.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
    (*) ...à coulisse, aurait complété Jean Brette ;)
  • JLapin
    Modifié (December 2021)
    Ha ha :) .. Non, ce n'est pas ça... Mais manifestement, avec le temps, et surtout je pense l'autorité gigantesque de ceux qui les ont énoncés, vous avez fini par accepter l’inacceptable...
    Tu délires...
    Ne pense pas à notre place stp.
  • zeitnot
    Modifié (December 2021)
    Chaurien, disons que c'est l'esprit de Noël. Peut-être que la discussion fera germer quelque chose chez Fabien et que dans quelques mois son esprit s'émerveillera.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Je ne pense pas non plus qu’il s’agisse d’un hurluberlu. 
    Un prétentieux, oui. « Moi je crois un truc que les autres n’ont jamais vu ».
    Surtout qu’en maths, justement, il n’y a pas de croyance et d’autorité. 
    On a des règles (des choses admises) et on démontre des choses en les utilisant. On est en droit de contester les règles, ça ne pose pas de problème. 
    Bien entendu, il existe des exemples où des failles existaient dans les démonstrations. Mais c’est tout de même très epsilonesque. 
    @Fabien
    lis-bien les deux derniers messages, si tu en as envie…
    je pense arrêter tout de même puisque ça ne progresse pas.
  • LP2
    LP2
    Modifié (December 2021)
    LP2 a dit :
    .... la somme d'une série n'est pas une somme (au sens courant du terme) mais une limite
    On calcule la somme grace à une limite car on ne peut pas "additionner" au sens propre tous les termes, mais c'est une somme à la base.
    Mais pourquoi la limite d'une somme aurait les mêmes propriétés qu'une somme ?
    Dans ce cas, tu dois aussi remettre en question le fait que la somme d'une série de nombres rationnels est irrationnelle puisque ce n'est vrai pour aucune somme finie !
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Une autre suite très simple : $\Big((-1)^n \Big)$
    1 ; -1 ; 1 ; -1 ; etc. 
    La suite des sommes partielles est : 1 ; 0 ; 1 ; 0 etc.
    On change l’ordre : on met d’abord dix « 1 » puis -1 ; 1 ; -1 ; etc.
    la suite des sommes partielles n’a rien à voir avec la précédente. 
    Mais ! MAIS !!! on n’a pas mis « plus de 1 que de -1 » par rapport à l’autre série.
  • Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    LP2
    Mais pourquoi la limite d'une somme aurait les mêmes propriétés qu'une somme ?
    Les limites sont juste un outil mathématique (puissant mais attention à l'usage qu'on en fait) pour déterminer quelque chose qu'on ne peut pas "calculer" en réalité, comme déterminer vers quel nombre tend la suite 1/x puisque quelqu'un en parlait. En l'occurrence on se sert des limites pour déterminer la valeur d'une somme qu'il est impossible de calculer puisqu'elle concerne un ensemble infini. Mais attention, c'est bien une somme qu'on essaye de déterminer, une simple somme j'ai envie de dire, et si l'outil nous donne résultat qui ne colle pas avec les propriété d'une somme alors c'est qu'on utilise mal l'outil.
    LP2
    Dans ce cas, tu dois aussi remettre en question le fait que la somme d'une série de nombres rationnels est irrationnelle puisque ce n'est vrai pour aucune somme finie !
    Pardon mais ici je ne comprends pas la question : pour moi "la somme d'une série de nombres rationnels" est forcément rationnelle... Mais je peux me tromper je n'ai pas du tout étudié la question... Mais c'est intéressant, la somme d'une série de nombres rationnels peut devenir irrationnelle ?
  • Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Dom, la suite $(-1)^n$ n'est pas convergente et donc elle est hors de propos dans notre cas ici.
    Une étude intéressante et ludique par l'excellent Mathologer t'en apprendra plus sur ce qu'on a le droit ou pas de faire ici :
    https://www.youtube.com/watch?v=YuIIjLr6vUA
    (Il parle de l'enfer des mathématiciens c'est drôle  :) )
  • nicolas.patrois
    Modifié (December 2021)
    Dom, la suite $(-1)^n$ n'est pas convergente et donc elle est hors de propos dans notre cas ici.
    Dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, si, mais on s’égare.
    Avant de contester les règles mathématiques, assure-toi d’abord de bien les connaître pour proposer de nouvelles règles qui t’amusent et qui en amuseront peut-être d’autres.
    Tu cherches à appliquer des règles de calcul qui ne s’appliquent pas a priori aux objets que tu manipulent, ou alors il faut le démontrer et c’est précisément l’objet de quelques théorèmes qui le garantissent mais sous condition. Sans ces conditions, tu ne peux pas les appliquer et donc utiliser la conclusion.
    Pardon mais ici je ne comprend pas la question : pour moi "la somme d'une série de nombres rationnels" est forcément rationnelle...
    Eh non, justement. Comment crois-tu qu’on obtient $\pi$ ou $\sqrt{2}$ ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • gerard0
    Modifié (December 2021)
    Inutile de continuer à essayer de discuter avec quelqu'un qui "refuse l'idée que la somme des termes d'une suite puisse changer en changeant l'ordre de ses termes" Puisqu'il refuse l'idée, aucune preuve mathématique ne pourra le convaincre; d'autant qu'il le dit " je suis novice".
    C'est à dire qu'il refuse de faire des maths. Il prend ses désirs pour des réalités !!
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    L’exemple de cette suite non convergente sert justement à mettre en contradiction tes « concepts ». 
    Les nombres irrationnels sont ceux dont le développement décimal n’est pas périodique. 
    On les approche simplement par des sommes de termes de suites de rationnels. 
    Pour $\pi$ :
    3  
    3+1/10
    3+1/10+4/100
    3+1/10+4/100+1/1000
    etc.
    $\pi$, cher irrationnel, est bien la SOMME des termes d’une suite de rationnels (ici c’est même une SOMME de termes d’une suite de décimaux). 
    Je jette l’éponge, rien n’est lu. 
    La preuve avec « oui mais ça c’est une suite qui diverge ». Je te montre la Lune avec cette suite « doigt » et tu ne regardes que le doigt…
    C’est d’ailleurs comme dans toute discussion idéologique : l’interlocuteur ne rongera pas ses convictions et toute illustration n’y changera rien. 
    Ce n’est pas grave. Dès qu’on ajoute de l’humain dans les maths, c’est le début des non-maths. C’est ce qu’il existe de plus répandu, donc inutile de paniquer. Et tirer sa révérence, c’est ce qu’il y a de mieux à faire, en le faisant toutefois de manière non irrévérencieuse 😉
  • Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Dom
    3+1/10+4/100+1/1000
    etc.
    $\pi$, cher irrationnel, est bien la SOMME des termes d’une suite de rationnels
    Ha ok je comprends :) Donc c'est "possible" que la somme d'une série de nombres rationnels devienne irrationnel, mais juste par contre il faut bien noter que c'est forcément une somme infinie de termes sans aucun schéma répétitif ! Ce qui n'est pas rien quand même... C'est presque irrationnel ! o:)

    Du coup ma réponse à la question de LP2 : Le fait qu'aucune somme finie ne donne de nombre irrationnel n'a rien a voir avec le fait qu'on utilise l'outil "limite" pour calculer la somme des termes infinis d'une suite à mon avis...
  • Médiat_Suprème
    Modifié (December 2021)
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Mais j'ai répondu non ?..
    Vous voulez dire le sac de billes ?
  • Oui, le sac de billes
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Bon, je répondrais une infinité... Mais je ne suis pas certain que ce soit tellement pertinent pour faire avancer le sujet...

    Je résume la problématique au cas où ce soit devenu un peu brouillon avec tous les messages :
    • Il y a indéniablement une bijection valide entre les deux ensembles de la suite d'origine et de la suite réarrangée (même si c'est seulement "à l'infini", ce qui à mon sens requiert d'être mieux défini).
    • Et en même temps, est valide également le fait que si on compare la somme des termes de la suite réarrangée jusqu'au terme -1/4k quel que soit k (même quand k -∞) et la somme des termes de la suite originale jusqu'au même terme -1/4k, on trouve que la "suite réarrangée" exclut toujours les termes (tous positifs) avec dénominateurs impairs allant de 2k+1 à 4k-1, et que la somme des termes de cette "sous suite exclue" tend vers Ln(2)/2 quand k -> ∞
    Ce qui est contradictoire...

    Toute idée nouvelle sera bienvenue  :) C'est Noël quand même !! 
  • Médiat_Suprème
    Modifié (December 2021)
    Bon.. je répondrais une infinité... 
    Ce n'est pas la bonne réponse, pour la bonne raison qu'il n'y a pas de bonne réponse en l'état, la réponse dépend de la façon dont on retire les billes :smile:
    Numérotons les billes à l'étape 1 on place les billes 1 à 10 dans le sac, à l'étape 2 les billes 11 à 20 etc., mais :smile:
    1) Si à l'étape 1 je retire la bille 1, à l'étape 2 la n°2, ... à l'étape n je retire la bille n, au bout d'une infinité d'étape le sac est vide.
    2) Si à l'étape 1 je retire la bille 8, à l'étape 2 la n°9, ... à l'étape n je retire la bille n + 7, au bout d'une infinité d'étape le sac contient 7 billes
    3) Si à l'étape 1 je retire la bille 1, à l'étape 2 la n°3, ... à l'étape n je retire la bille 2n-1, au bout d'une infinité d'étape le sac contient une infinité de billes

    Du coup, on peut avoir n'importe quel nombre de billes dans le sac entre 0 et $\aleph_0$
    Ces résultats sont triviaux pour ceux qui connaissent les règles sur les infinis.

    Si ces règles ne vous conviennent pas, et c'est votre droit, vous pouvez toujours mettre au point une nouvelle théorie, qui deviendra célèbre si une partie importante des mathématiciens y trouvent leur miel, en attendant, ils sont tous (à l'exception des finitistes et autres ultras) convaincus que ces règles que vous contestez, sont, jusqu'à votre publication, les meilleures
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Mais ça me parait absurde, si on ajoute (dans tous les cas) 9 billes (10 - 1) à la fin on en à toujours une infinité non ?
    Je n'ai pas compris la combine là....  :) 
  • C'est ce que tout le monde vous dit depuis le début, vous ne connaissez pas les façons de manipuler l'infini, mais au lieu de poser humblement des questions, vous affirmez que Riemann (et tous les mathématiciens sont des idiots ...

    Pour revenir sur le sac de billes (cas 1), s'il y a une infinité de billes à l'arrivée, citez-en une, par son N°, et devant l'impossibilité d'en trouver, vous devrez bien admettre que le sac est vide.

    Que ce résultat choque votre intuition, c'est normal (essentiellement parce que l'on a tendance à appliquer à l'infini, les raisonnements valides dans le cas fini : big mistake)
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Mouais.. bof.. pas terrible comme truc....  :( vous avez pas plutôt un problème avec des allumettes là, sur la table, qu'il faut bouger, pour faire un truc ? C'est Noël quand même !...
  • marsup
    Modifié (December 2021)
    Bonsoir
    Moi non plus, je ne trouve pas forcément l'exemple très éclairant.
    Si au premier tour et aux tours impairs, j'ajoute la bille numéro 1,
    et que je l'enlève au tours pairs.
    Est-ce qu'elle est présente dans le sac après une infinité de tours ?
    Une suite d'instructions étant donnée, à quelle condition une bille est-elle présente dans le sac après une infinité de tours ? À quelle condition n'est-elle pas présente ? Ces deux conditions sont-elles bien la négation l'une de l'autre ?
    Par contre, j'aimerais bien savoir quelles sont les permutations $\sigma$ de $\N$ qui sont telles que pour toute série semi-convergente, on ait :  $$\sum a_n = \sum a_{\sigma(n)}$$ Il y a au moins celles pour lesquelles $\sigma([0:N]) = [0:N]$ pour une infinité de $N\in\N$...
  • Citez moi une, une seule parmi une infinité, cela devrait être facile, des billes qui restent dans le sac (toujours cas 1) si vous n'y arrivez pas vous devrez bien admettre que votre raisonnement ne tient pas la route
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Il y a bien une bijection entre les deux ensembles (à l'infini), mais comme on utilise la somme des éléments de la série réarrangée (1/(2k-1) - 1/(4k - 2) - 1/4k ) qui exclut toujours les termes avec dénominateurs impairs allant de 2k+1 à 4k-1, on trouve un résultat réduit de la valeur de cette exclusion.

    Reste à démontrer rigoureusement que la somme des termes de cette exclusion tend vers LN(2)/2 quand k -> ∞

    Mais je n'ai pas trop d'idée sur comment faire... Si ça se trouve ce n'est pas si trivial car les termes ne sont jamais les mêmes, et ils sont de plus en plus nombreux  :#  Si quelqu'un avait une idée de comment faire ce serait super :)

    Pour mieux visualiser la problématique, voici un schéma qui montre l'évolution de k=1 jusqu'à k=5 : Les deux premières colonnes sont le numérateur et le dénominateur de la suite d'origine pour chaque termes, la 3eme colonne est la valeur de cette faction, la 4eme colonne contient les termes concerné par la valeur de k, la 5eme les termes de la suite réarrangée et l'entête la somme, la 6eme les termes exclus et l'entête la somme :



  • C’est quoi, une bijection valide ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Un conseil : cessez de nourrir le troll.
  • Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    C’est quoi, une bijection valide ?
    Pardon je ne sais pas comment on dit.. Il faut dire juste "il y a une bijection" ?
    J'ai corrigé.
  • Bonjour,
    Ce fil devrait peut-être être déplacé dans la section Shtam.
  • Ou même à la poubelle...
  • Il n’y a pas d’exclusion, tout le monde est là !!!
  • raoul.S
    Modifié (December 2021)
    Moi ce que je trouve amusant c'est qu'au début du fil on a eu droit à ce genre de phrases de troll :trollface:
    Et je trouve ça incroyable que personne depuis plus d'un siècle n'ai contesté ce théorème (même s'il ne sert probablement pas de fondation à grand chose, comment construire quoi que ce soit sur un truc aussi bancal !). Je sais bien que c'est Riemann qui l'a énoncé mais c'est pas une raison pour perdre son sens critique quand même !...

    En même pas une demi heure, moi, tout nul, j'ai trouvé un contre exemple avec lequel on voit que le réarrangement ne fait juste que cacher une partie de la suite d'origine "sous le tapis de l'infini" :

    ....

    C'est pas sérieux "mathématiquement"... Pour être tout à fait honnête quand j'ai vu ça, en vrai ça m'a pas choqué, je me suis juste dit : "Alors là vraiment n'importe quoi !..."
    ...

    Bon de toute façon comme je le disais il ne doit pas y avoir grand chose de fondé sur ce truc qui tient plus de la "combine amusante" (mais fausse) que du "Théorème"
    et maintenant Fabien Sabinet cherche de l'aide pour démontrer un truc presque trivial auprès de matheux qu'il considère comme étant des "abrutis".
    Reste à démontrer rigoureusement que la somme des termes de cette exclusion tend vers LN(2)/2 quand k -> ∞
    Mais les physiciens en prennent pour leur grade également. Ici par exemple on a droit au fait que le deuxième postulat d'Einstein est probablement faux.
    - https://www.agoravox.fr/actualites/technologies/article/remise-en-cause-du-deuxieme-211906
    https://www.agoravox.fr/actualites/technologies/article/la-fin-de-la-relativite-176162
    une perle dans le deuxième article : Voilà. Alors vous allez me dire, mais pourquoi tous ces scientifiques si intelligents qui se moquent de nous parce qu'on est bête dans les repas entre copains, pourquoi n'y ont-ils donc pas pensé avant ?
  • Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Dom a dit :
    Il n’y a pas d’exclusion, tout le monde est là !!!
    ha ha Dom :D "Il n'est pire aveugle que celui qui ne veut pas voir:) Je vous ai colorié en orangé les termes exclus, vous constaterez qu'ils changent à chaque valeur de k, et sont toujours plus nombreux. J'ai également ajouté un graphe qui montre la progression des deux sommes, on voit qu'elle vont sans doute tendre vers LN(2)/2.
    Raoul, je trouve ça triste que vous preniez mes paroles aussi mal, ce n'est pas mon intention, le ton que j'emploie est bien plus de l'humour que de la prétention je vous assure, dans mon message initial j'ai d'ailleurs écris "moi, tout nul" en parlant .. de moi ! :p 
    Bref si quelqu'un à une idée pour démontrer que la somme des inverses des nombres impairs allant de 1/(2k+1) à 1/(4k-1) tend vers ln(2)/2 quand k tend vers l'infini, ce serait su-per !  B)
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    « Exclu » signifie qu’on ne les compte pas. 

    Donne-moi un terme qui serait compté dans une somme et pas dans l’autre. 
    « Il n'est pire aveugle que celui qui ne veut pas voir » : c’est toi qui ne les vois pas !
    Tu n’as toujours pas compris qu’ils étaient tous là ?
  • JLapin
    Modifié (December 2021)
    Fabien Sabinet a dit :
    Bref si quelqu'un à une idée pour démontrer que la somme des inverses des nombres impairs allant de 1/(2k+1) à 1/(4k-1) tend vers ln(2)/2 quand k tend vers l'infini, ce serait su-per !  B)
    Somme de Riemann.
  • Renart
    Modifié (December 2021)

    Bref si quelqu'un à une idée pour démontrer que la somme des inverses des nombres impairs allant de 1/(2k+1) à 1/(4k-1) tend vers ln(2)/2 quand tend vers l'infini, ce serait su-per ! 
    Fais une comparaison somme/intégrale, c'est niveau première année post bac...  
    le ton que j'emploie est bien plus de l'humour que de la prétention je vous assure,

    Sur la forme peut-être (et encore) mais pas sur le fond. Quand on ne maitrise pas les techniques de base sur les séries et qu'on affirme avoir prouvé tout naturellement en 30 minutes que les mathématiciens se plantent depuis 150 ans, que l'erreur était vraiment grossière et qu'on vient (enfin !) de la réparer, ce n'est pas de la modestie.

    Mais que tu sois un troll, un mégalomane prétentieux ou un gentil hurluberlu se berçant d'illusions ça n'a pas vraiment d'importance : la discussion est de toute façon stérile, je m'arrête là personnellement.

  • Médiat_Suprème
    Modifié (December 2021)
    Dom a dit :
    Donne-moi un terme qui serait compté dans une somme et pas dans l’autre.
    Bonjour
    J'ai essayé, en vain, de simplifier, avec le sac de billes, mais non seulement FS ne comprend pas mais il n'est même pas capable de le reconnaître.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    JLapin
    Somme de Riemann
    Renart
    a dit :
    Fais une comparaison somme/intégrale, c'est niveau première année post bac...  
    Arf, j'ai juste le niveau bac scientifique... Je vois pas comment utiliser tout ça :'(
    (Du coup première année post bac ce n'est pas si trivial quand même...)
  • Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Dom a dit :
    Donne-moi un terme qui serait compté dans une somme et pas dans l’autre. 
    C'est là qu'est l'astuce, aucun terme n'est "jamais" compté, mais il y a pourtant toujours de plus en plus de termes qui ne sont pas comptés, et leur somme augmente toujours doucement jusqu'à tendre vers ln(2)/2.
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    N’importe quoi. 
    Si des termes ne sont pas comptés dans la série réarrangée « pour chaque $k$ » alors d’autres termes ne sont jamais comptés dans la première série, non ?

    Ne vois-tu pas que TOUS les termes sont là ? 
    La seule chose étant que les 1000 premiers dans une série ne sont pas les mêmes que les 1000 premiers dans l’autre.  
    Mais tu ne peux pas dire en restant honnête qu’on en enlèverait dans l’une et pas dans l’autre. 
    C’est raconter n’importe quoi. 

    Je pense encore une fois que tu te fais avoir par la manière de récrire ces sommes et leurs termes généraux.
    Ce n’est pas parce que l’on t’écrit un terme avec un « - » qu’on retire ce terme.
    Cela dit tu as presque compris : l’ordre est important, par exemple en commençant par davantage de positifs que de négatifs. Mais, NON, on n’exclut pas des termes.
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