Théorème de réarrangement de Riemann

Fabien Sabinet
Fabien Sabinet
Modifié (December 2021) dans Shtam
Bonjour à tous,

je suis tombé sur une démonstration du théorème de réarrangement de Riemann et comme beaucoup il m'a choqué... Et je trouve ça incroyable que personne depuis plus d'un siècle n'ai contesté ce théorème (même s'il ne sert probablement pas de fondation à grand chose, comment construire quoi que ce soit sur un truc aussi bancal !). Je sais bien que c'est Riemann qui l'a énoncé mais c'est pas une raison pour perdre son sens critique quand même !

En même pas une demi heure, moi, tout nul, j'ai trouvé un contre exemple avec lequel on voit que le réarrangement ne fait juste que cacher une partie de la suite d'origine "sous le tapis de l'infini" :

Pour "démontrer" le théorème on dit souvent que la fameuse suite $(U_n)_n$ telle que $\forall n\geq0,\ U_n=\sum_{k}^{n}{\frac{(-1)^k}{k+1}} $ est "parfaitement" équivalente à (source Wiki) :



Mais c'est absolument faux :

à k=1 la suite exclut le terme 1/3
à k=2 la suite exclut les termes 1/5 et 1/7
à k=3  la suite exclut les termes 1/7, 1/9 et 1/11
et ainsi de suite on voit que la "suite réarrangée" exclut toujours les termes avec dénominateurs impairs (tous positifs) allant de 2k+1 à 4k-1 ... Et devinez vers quoi tend cette "sous suite exclut" ? Et bien je vous le donne Émile elle tend vers Ln(2)/2 !! Donc évidemment que la suite réarrangé tend aussi vers Ln(2)/2 puisque la suite d'origine tend vers Ln(2) : [Suite d'origine->Ln(2)] - [Suite exclut ->Ln(2)/2] = [Suite réarrangée->Ln(2)/2]

Bref la suite réarrangé n'est pas (du tout) équivalente à la suite d'origine, moi aussi je peux faire tendre une suite vers n'importe quoi si j'enlève tout un tas de terme bien choisi !  :D

Non mais aussi, comme si en réarrangeant les termes d'une suite on pouvait obtenir une somme des termes différente... C'est pas sérieux "mathématiquement"... Pour être tout à fait honnête quand j'ai vu ça, en vrai ça m'a pas choqué, je me suis juste dit : "Alors là vraiment n'importe quoi !..."

Allez.. bonne fête quand même ! :p
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Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (December 2021)

    Cela dit, je ne comprends pas l'objection. Il est vrai que le sens critique est une valeur à défendre, surtout par les temps qui courent. Les grands mathématiciens ont fait des erreurs, il est vrai, mais celles-ci sont extrêmement rares, et elles sont connues et répertoriées dans la tradition mathématique. Sans être totalement soumis, il faut conserver un peu de sens des réalités, surtout quand on se sait « tout nul » et qu'on n'est pas même capable de conjuguer le verbe exclure au présent de l'indicatif...
    Présentement je ne comprends pas l'objection. On part de la série de terme général $u_n=\frac {(-1)^n} {n+1}$, $n \in \mathbb N$. Un « réarrangement »
    est une série de terme général $u_{\sigma(n)}$, où $\sigma$ est une bijection de $\mathbb N$, et il y a de multiples exemples de telles bijections qui changent la somme d'une série semi-convergente, ou qui la transforment en série divergente.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Renart
    Renart
    Modifié (December 2021)
    Oui bon, tu n'as pas montré que le théorème de réarrangement de Riemann était faux (ni même son application à cet exemple particulier), tu viens justement de découvrir ce qui le fait marcher : il faut "repousser" certains termes toujours plus loin.
    Tu remarqueras cependant qu'il y a une bijection parfaite entre les termes de la somme de départ et les termes de la somme réarrangée : pour chaque entier $k$ il existe un unique entier $j(k)$ tel que le $j(k)$-ième terme de la somme réarrangée soit $\frac{(-1)^k}{k+1}$. Une fois passé à la limite on aura donc bien sommé les mêmes termes dans les deux sommes.
  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Ha ben.. si ça vous convient sans broncher, moi hein :o ...
    Mais franchement je reste convaincu que ce n'est pas sérieux, je trouve même qu'il faudrait INTERDIRE ce genre de pratique avec l'infini !  :)
    Bon de toute façon comme je le disais il ne doit pas y avoir grand chose de fondé sur ce truc qui tient plus de la "combine amusante" (mais fausse) que du "Théorème" ;) 
  • raoul.S
    raoul.S
    J'avais mis de côté un pdf sur ce théorème (je le mets en pièce jointe). Le théorème est énoncé clairement et démontré, je ne vois pas de problème.

    @Fabien Sabinet peut-être que tu le trouves moche ou inutile mais c'est une autre histoire.
  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    il est surtout simplement faux, c'est une "manipulation" de l'infini,
    et il est donc certainement inutile car sinon on se serait rendu compte depuis longtemps que tout ce qui est basé dessus sent le sapin (de Noël).
  • raoul.S
    raoul.S
    Pour dire qu'il est faux tu dois pouvoir pointer du doigts le passage problématique dans la preuve du pdf... 
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (December 2021)
    Fabien Sabinet a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2332676/#Comment_2332676
    Non, il est correct mais tu n'as manifestement pas compris son énoncé.
  • Renart
    Renart
    Modifié (December 2021)
    Mais franchement je reste convaincu que c'est pas sérieux, je trouve même qu'il faudrait INTERDIRE ce genre de pratique avec l'infini ! 

    Bah écoutes, on attend ton projet de loi pour faire cesser cette mascarade au plus vite hein.

  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    raoul.S a dit :
    Pour dire qu'il est faux tu dois pouvoir pointer du doigts le passage problématique dans la preuve du pdf... 
    Avec mes mots (vous aurez remarqué que je ne suis pas "mathématicien", ce n'est rien de le dire B) ), d'intuition il y a un problème ici (il y en a sans doute d'autres mais c'est celui qui me parait le plus évident) :


    Comme on a à faire à deux ensembles infinis de nombres négatif et positifs (dont les sommes tendent toutes les deux vers + et - l'infini) on considère qu'on peut toujours ajouter autant de termes qu'on veut pour "rejoindre" la valeur α qu'on s'est fixé. Pourtant je postule que s'il y a une différence entre α et la limite originale de la suite cela demande toujours de plus en plus de terme du côté du déséquilibre (si α > LimOri alors toujours plus de terme positif, si α < LimOri alors toujours plus de terme négatif) jusqu'à en demander une infinité, ce qui ne permet pas de rejoindre α "à la fin".

    En mathématique, il n'y a pratiquement aucune règle avec l'infini, c'est un tort ! Il faut que quelqu'un s'y colle d'urgence ;) (Bon ça ne servirait à rien mais quand même ça évite les tentatives "d'enchantement" des maths  o:) Sérieux vous y avez cru à ça, qu'en changeant l'ordre des termes d'une suite on pouvait changer sa somme...? Apparemment oui de ce que je vois.. C'est ça qui m'étonne le plus en fait...)
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Modifié (December 2021)
    Tu n'as pas compris ce qu'était une bijection de $\mathbb N$ dans lui-même. Ton soi-disant contre-exemple est une bijection parfaitement bien définie.
    Au lieu de dire que le théorème est faux, montre-nous un vrai contre-exemple ou pointe du doigt un problème dans le raisonnement (spoiler: tu n'y arriveras pas).
    En ce qui concerne l'utilité de ce théorème, c'est justement de mettre en avant en quoi les séries semi-convergentes sont dangereuses.
  • rakam
    rakam
    Modifié (December 2021)
    Je crois que tu refuses de comprendre qu'on fait une permutation (application bijective de $\N$ sur lui-même).
    Il n'y a aucune manipulation d'infini si on décide
    $\sigma(3n)=4n,\qquad\sigma(3n+1)=2n+1,\qquad\sigma(3n+2)=4n+2$
    car il est facile de voir que l'application $\theta$ vérifiant
    $\theta(4n)=3n,\qquad\theta(4n+1)=6n+1,\qquad\theta(4n+2)=3n+2,\qquad\theta(4n+3)=6n+4$
    est bien la réciproque de $\sigma$ et, pour la série harmonique alternée $u_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}n$, si $v_n=u\{\sigma(n)$ on voit bien que $V_{3n}$ est la moitié de $U_{2n}$.
    -------------------------------------------
    Plus compliqué (et je te laisse le soin de trouver la réciproque de $\sigma$).
    Quand on prend
    $\sigma(0)=0,\qquad\forall n\in\N,\forall k\in \{0,\cdots,2^n-1\},\sigma(2^n+n+k)=2^{n+1}+2k,\qquad\sigma(2^{n+1}+n)=2n+1$
    alors la série $\sum u_{\sigma(n)}$ est divergente.
  • gerard0
    gerard0
    Fabien Sabinet

    "En mathématique, il n'y a pratiquement aucune règle avec l'infini," C'est faux !
    Ne pas confondre "je ne connais pas" avec "ça n'existe pas". Tu fais cette confusion. Le fait que tu ne connaisses pas la notion de bijection ne t'autorise pas à dire qu'une preuve basée sur cette notion est fausse. C'est ridicule de faire ça !
    Tout le paragraphe qui suit montre bien que, bien que n'y connaissant rien, tu donnes des "conseils". Donc que tu n'es pas raisonnable, tu viens de dévaloriser tous tes arguments, de te ridiculiser ! Tant pis pour toi !
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (December 2021)
    Fabien Sabinet a dit :
    En mathématique, il n'y a pratiquement aucune règle avec l'infini, c'est un tort ! Il faut que quelqu'un s'y colle d'urgence ;) (Bon ça servirait à rien mais quand même ça évite les tentatives "d'enchantement" des maths  o:)
    L'un des premiers enchantements de quelqu'un qui découvre les maths est justement le fait qu'il existe une bijection entre les entiers naturels et les entiers naturels pairs...
    Si tu veux toi aussi t'enchanter, je t'invite à regarder quelques vidéos sur l'hôtel de Hilbert.
  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Il est vrai que la bijection nous induit initialement en erreur, mais il faut bien comprendre que cette bijection n'est valide qu'à "l'infini", dans le sens où on peut en effet pour tout élément de la suite d'origine faire correspondre un élément de la suite réarrangée, mais à chaque nouveau terme de la suite réarrangé qu'on fait correspondre avec la suite d'origine, on met "sous le tapis" toute une série de terme de la suite d'origine aussi. Alors c'est vrai que plus tard on les ressort, mais pour en remettre toujours d'autre à la place, et toujours plus !...

    Ça occulte le fait que la somme des termes de la "suite réarrangée" exclut toujours au rang k (et ce quel que soit k c'est ce qui est essentiel) les termes avec dénominateurs impairs (tous positifs) allant de 2k+1 à 4k-1 de la suite d'origine, ce qui fait que la somme des termes de la suite réarrangée tend vers la somme des termes de la suite d'origine, moins les termes qu'elle exclut toujours.

  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (December 2021)
    Fabien Sabinet a dit :
    Ca occulte le fait que la somme des termes de la "suite réarrangée" exclut pourtant toujours au rang k (et ce quelque soit k c'est ce qui est essentiel) les termes avec dénominateurs impairs (tous positifs) allant de 2k+1 à 4k-1 de la suite d'origine...
    Mais ce n'est pas occulté vu qu'on le voit clairement dans l'article de Wikipedia. Et ça ne pose aucun problème.
    Ce que tu ne comprends pas c'est que ce "phénomène" n'est pas une contradiction. Si certains termes avec dénominateur impair n'étaient jamais utilisés alors là oui il y aurait un problème dans la démonstration. Mais ce n'est pas le cas ils sont tous utilisés tôt ou tard. Certains plus tard que d'autres...
    Fabien Sabinet a dit :
    s'il y a une différence entre α et la limite originale de la suite cela demande toujours de plus en plus de terme du côté du déséquilibre (si α > LimOri alors toujours plus de terme positif, si α < LimOri alors toujours plus de terme négatif) jusqu'à en demander une infinité, ce qui ne permet pas de rejoindre α "à la fin".
    Même si les deux ensembles $E^{+}$ et $E^{-}$ ne sont pas "épuisés à la même vitesse" ce n'est pas important. L'important c'est qu'à la fin ils seront épuisés les deux. Et à aucun moment on ajoute une infinité de termes, appartenant à l'un des deux ensembles, à la suite.
    Par exemple si je commence à compter à haute voix en mentionnant un nombre entier par seconde mais pas dans l'ordre habituel. Je mentionne d'abord le premier nombre pair 0, puis les deux nombre impairs suivants 1,3. Puis je mentionne le nombre pair suivant 2 et les trois nombres impairs suivants 5,7,9, puis le pair suivant etc. On obtient 0,1,3,2,5,7,9,4,11,13,15,17,6, etc.
    "J'épuise" beaucoup plus vite les nombres impairs que les pairs et pourtant tout nombre entier sera mentionné un jour...
  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    JLapin a dit :
    Si tu veux toi aussi t'enchanter, je t'invite à regarder quelques vidéos sur l'hôtel de Hilbert.
    Oui je n'en ai pas parlé mais évidemment il y a le même problème avec l'hôtel de Hilbert, ces bijections (puisque tout repose sur ça apparemment) sont vraie seulement à l'infini, et jamais au rang n, et ce quel que soit n, ce qui est contradictoire et pose un gros problème de mon point de vue.
  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (December 2021)
    Mais une bijection n'est pas obligée d'être telle au rang $n$.
    @Fabien Sabinet tu ferais mieux de dire c'est quoi exactement pour toi une bijection, de façon précise. Avec exemples à l'appui. Par exemple des bijections de $\N$ dans $\N$...
  • JLapin
    JLapin
    J'imagine que pour @Fabien Sabinet  une bijection de $\N$ dans $\N$ est une fonction $f$ de $\N$ dans $\N$ pour laquelle il existe un rang $p$ tel que la restriction de $f$ à $\llbracket 0,p\rrbracket$ soit bijective et $\forall n\geq p+1, f(n)=n$...

  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Dommage. 
    Quand on a compris la preuve constructive qu’en changeant l’ordre des termes, on peut obtenir ce que l’on veut comme limite, on n’a plus à s’inquiéter de l’infini comme d’une maladie étrange et inconnue. 
    Je tente une vulgarisation. 
    On a une suite $(u_n)_n$ dont la série converge mais dont la série ne converge pas absolument. 
    On en déduit : 
    1) $(u_n)_n$ tend vers $0$
    2) il y a une infinité de termes strictement positifs et une infinité de termes strictement négatifs (sinon on aurait une convergence absolue…)
    3) la série des termes strictement positifs diverge (c’est strictement croissant !) vers $+\infty$ et la série des termes strictement négatifs diverge (c’est strictement décroissant !) vers $-\infty$ 
    Tant qu’on n’a pas réalisé ces trois points, il est difficile (par expérience) d’envisager ce qui suit à cause de l’intuition fausse et faussée par la méfiance de ce que l’on ne connaît pas. 
    Désormais, je choisis 2022 comme limite à « approcher ».  
    Je prend les premiers termes positifs, et les ajoute jusqu’à dépasser 2022 (c’est sûr que je peux le faire puisque la série des termes positifs diverge vers l’infini). 
    Une fois passé 2022, j’ajoute les premiers termes négatifs jusqu’à passer en dessous de 2022 (c’est sûr que c’est possible…). 
    Une fois passé en dessous de 2022, j’ajoute les termes positifs non encore utilisés jusqu’à dépasser 2022 (c’est possible !).
    Puis les termes négatifs jusqu’à repasser en dessous 2022. 
    Voilà un algorithme qu’un lycéen, voire collégiens est en capacité de comprendre.  
    Il reste à démontrer que ça converge : en effet, on pourrait faire des $+10$ tout le temps et des $-10$ tout le temps, ça ne convergerait pas… et on tournerait autour de 2022… (par exemple 2030,2020,2030,2020,…). Mais comme la suite tend vers $0$, on s’approche bien de 2022 d’aussi près que l’on souhaite.
    Je ne sais pas si cela a été dit plus haut. 
    J’espère être convaincant 😀
  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Dom a dit :
    Je ne sais pas si cela a été dit plus haut. 
    C'est peut-être ça le problème ;) Vous n'avez donc pas lu les échanges et vous présentez "l'algorithme" central sur lequel j'ai déjà émis une objection... Est-ce que je copie/colle ce que j'ai déjà dit ici ?... Ou vous aller voir ? o:)
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (December 2021)
    Sinon, il t'a déjà été expliqué plusieurs fois que ta définition d'une bijection de $\N$ dans $\N$ n'est pas celle de tout le monde.
    Appelle bibijection ce que tu penses être la définition d'une permutation de $\N$ et ça résoudra tous tes problèmes puisqu'aucun pdf sur internet ni page wikipedia ne montrera que pour tout réel $\alpha$, il existe une bibijection $\sigma$ telle que $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_{\sigma(n)} = \alpha$ lorsque $\sum u_n$ est une série semi-convergente ou encore qu'il existe une bibijection de $\N$ vers les entiers pairs.
  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Ben oui mais comme je l'ai dit aussi plusieurs fois, selon moi ces bijections sont "vraie" seulement dans le cadre de l'infini, jamais (JA-MAIS) au rang n, quel que soit n donc... Ce qui me semble plutôt grave... Et même contradictoire, comment quelque chose peut-il être toujours faux quel que soit les sous ensembles finis, et "vrai" dans le cadre de l'infini ? (!!)
    Ça devrait poser un gros problème (à tout le monde) de mon point de vue. Mais bon comme je disais aussi après tout ce n'est pas si grave, plus ou moins tout le  monde s'en fiche, comme c'est inutilisé ça n'a aucune conséquence.
  • zeitnot
    zeitnot
    Modifié (December 2021)
    "Ce qui me semble plutôt grave"
    "comme je disais aussi ce n'est pas si grave"
    :)
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    Ha ben c'est contradictoire aussi hein !  :#  o:)  
  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (December 2021)
    Fabien Sabinet a dit :
     Et même contradictoire, comment quelque chose peut-il être toujours faux quelque soit les sous ensembles finis, et "vrai" dans le cadre de l'infini ? (!!)
    À te lire on dirait que de tels objets ne peuvent même pas exister. Pourtant on peut très bien écrire un programme informatique qui te sort les termes $\sigma(n)$ pour tout $n\in \N$ d'une de ces fameuse bijection que tu rejettes.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Modifié (December 2021)
    L'ensemble $\mathbb N$ étant infini, il n'est guère surprenant que ses permutations (ses bijections sur lui-même) fassent intervenir l'infini.
    C'est certes déstabilisant et difficile à comprendre au départ, mais l'attitude consistant à dire que les maths derrière (et donc les milliers de brillants mathématiciens qui ont travaillé là-dessus, Riemann en tête) sont contradictoires sans le moindre début de démonstration (juste un ressenti) me parait vraiment léger...
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Ok bon. C’est fichu alors.
    Il faut en effet se mettre d’accord :
    est-ce que l’on somme bien TOUS les termes ?
    Est-ce que l’on a juste changé l’ordre ?
    Sur quoi n’es-tu pas d’accord ?
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Une remarque : en fait, dans la présentation avec l’exemple classique (que je n’aime pas, mais alors pas du tout !) utilisant $\ln (2)$ et $\ln (2) /2$, on voit ce que l’on appelle une sommation par paquet. Et il existe aussi des théorèmes à ce sujet. 
    L’addition est commutative et associative, ça c’est ok. 
    Avec les séries on peut voir que la commutativité est mise à défaut avec celles qui sont semi-convergentes. On les qualifie même de « commutativement convergentes ». 
    On a aussi les problèmes d’associativité que l’on appelle plutôt des problèmes de « sommation par paquet ». Exemple simple : la série des $(-1)^n$ est divergente avec les valeurs d’adhérence $1$ et $0$. 
    Par contre en sommant par paquet de taille $deux$ on la « rend convergente ». Inversement, on peut se demander sous quelles conditions on peut avoir qu’une somme de paquets convergente entraîne une série convergente (c’est-à-dire sans paquet, ou autrement dit avec des paquets de taille $un$). 
  • zeitnot
    zeitnot
    Modifié (December 2021)
    Fabien, il y a 25 ans quand j'ai commencé la fac, ces notions de bijections, d'infinis, de séries alternées, de semi-convergence, m'ont paru vraiment difficiles dans un premier temps car sans doute contraires à mes représentations, à mon schéma de pensée. Je comprends que ça te paraisse mystérieux, tu sens qu'on t’arnaque. Pour ma part, j'ai étudié, je me suis accroché pour dépasser ça.
    Les camarades ont tenté quelques explications intéressantes, mais sans vraiment travailler un certain nombre de notions, de définitions de près, ça va être difficile de te convaincre, juste en "discutant", car ce sont des choses vraiment profondes.
    Cordialement.
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (December 2021)
    Fabien Sabinet a dit :
    Ben oui mais comme je l'ai dit aussi plusieurs fois, selon moi ces bijections sont "vraie" seulement dans le cadre de l'infini,
    Ca ne veut rien dire une "bijection vraie" car une bijection n'est pas une propriété.
    Si tu veux dire que tu préfères ta définition d'une bibijection et que tu considères la définition normale d'une bijection comme idiote, tu peux le dire mais ce ne sera pas vraiment accepté par le quidam moyen qui l'utilise régulièrement.
  • math2
    math2
    Modifié (December 2021)
    Fabien Sabinet, tu écris
    "Et même contradictoire, comment quelque chose peut-il être toujours faux quel que soit les sous ensembles finis, et "vrai" dans le cadre de l'infini ? (!!)"
    Je te propose la chose suivante, et encore pour rester vraiment élémentaire  :
    l'ensemble $A$ est un ensemble infini.
    J'ose espérer que tu es d'accord sur le fait que la phrase est fausse pour tout sous-ensemble fini, mais vraie si $A$ est infini.
  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Oui c'est vrai que je m'exprime sans doute mal sur les "bijections", je ne suis pas habitué de ce langage, c'est clair... Ce que je veux dire c'est qu'en prenant n'importe quel sous-ensembles de la suite réarrangée, de 0 à k, quel que soit k, et le sous-ensemble correspondant de la suite originale du premier au plus grand élément de la suite réarrangée, on a jamais (JA-MAIS ! ce qui fait penser à une autre sorte d'infini ;) ) de bijection totale entre les deux (dans le sens où il y a toujours des éléments de la suite originale qui n'ont pas de correspondance dans la suite réarrangée). Et ce même si les deux ensembles sont très très grand, voir proche de l'infini  >:) C'est seulement quand on considère les 2 suites dans leur "infinité totale" qu'on a une bijection "complète".

    Ben c'est pas normal je trouve :)
  • JLapin
    JLapin
    Peut-être que ce n'est pas normal, paradoxal, tout ce que tu veux mais c'est le prix à payer pour la souplesse que procure la définition commune d'une bijection.
    Penses-tu normal de dire que la suite de terme général $\frac{1}{n}$ converge vers $0$ alors qu'aucun de ses termes ne vaut $0$ ?
  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (December 2021)
    @JLapin (en référence à https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2332707/#Comment_2332707 ) tu as raison, Fabien Sabinet fait référence aux bijections à support fini.

    @Fabien Sabinet ce que tu considères comme "vraies" bijections de $\N$ dans $\N$ ne constituent en réalité qu'une "infime" partie de ce que l'on considère comme des bijections en math.

  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Une bijection : 
    1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,10,21,22,23,24,25,26,27,28,29,20
    on a sauté 10, déplacé 10 en 20, 20 en 30 etc. 
    Est-ce une « fausse bijection » pour toi ?
  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    Une bijection c'est quand chaque élément d'un ensemble trouve une et une seule correspondance parmi les éléments d'un autre ensemble. Dans les deux sens donc. Là il n'y a qu'un seul ensemble donc :)
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Alors il n’y a pas de problème puisque avec ton message initial les séries qui donnent $\ln (2)$ et $\ln (2)/2$, c’est bien le cas. 
    Tous les termes $(-1)^k/k$, $k$ naturel non nul, sont d’une part les seuls qui apparaissent et, d’autre part ils n’apparaissent qu’une seule fois. 
    As-tu vu ça ?
    Sinon, dis-nous quel terme serait en trop ou je ne sais quel autre problème. 
    À moins que tu me dises que ma suite exclut $10$ à $k=10$ puis $20$ à $k=20$. Mais là ce serait avoir bien mal compris. Et je pense que tu es en train d’ouvrir les yeux. 👌
    Une remarque : 
    la preuve avec les pointillés est contestable car peut-être que ces pointillés ne sont pas interprétés comme ils le devraient. 
    Édit :
    la suite dont on parle (toujours dans le fil initial) est très proche dans son réarrangement que de la suivante. 
    1-2-4-3-6-8-5-10-12-7-14-16-…
    On attrape bien essentiellement que les entiers et tous les entiers. On fait juste un saut pour les nombres impairs. 
    Attention, ne pas s’exclamer « oui mais il y a deux fois plus de pairs que d’impairs ! », ce serait une sacrée bévue…
  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Moi je dis juste que si on compare la somme des termes de la suite réarrangée jusqu'au terme -1/4k quel que soit k (sous entendu même quand k -> ∞) et la somme des termes de la suite originale jusqu'au même terme -1/4k, on trouve que la "suite réarrangée" exclut toujours les termes (tous positifs) avec dénominateurs impairs allant de 2k+1 à 4k-1, et que la somme des termes de cette "sous suite exclue" tend vers Ln(2)/2 quand k -> ∞, donc évidemment la somme des termes de la suite réarrangée tend aussi vers Ln(2)/2 quand k -> ∞ puisque la somme des termes de la suite d'origine elle tend vers Ln(2) : [∑Suite d'origine] - [∑Suite exclue] = [∑Suite réarrangée] = Ln(2)/2.
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Ok. 
    Mais attention aux raisonnements « pointillés ». 
    Je veux dire que tous les termes sont bien là et une seule fois et qu’il n’y en a pas d’autres. 
    Cet exemple est néfaste car justement ça crée une embrouille dans les esprits. La ligne où tu soustraits les suites montre qu’il y a des confusions. Il ne faut pas confondre entre la série réarrangée, sa somme, et l’expression de sa somme en fonction de la somme de la série originale. 

    Autre point de vue : 
    quand les termes sont tous de même signe, aucun réarrangement ne peut la faire converger vers une autre limite. 
    Ainsi, on voit que l’argument « il en manque à l’étape $N$ » ne tient pas. 
    Si ça peut aider…
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (December 2021)
    A quoi sert de perdre du temps avec quelqu'un qui utilise sa propre définition des mathématique, n'ayant rien à voir avec les maths ? Qui, parce que quelque chose ne lui plaît pas, dit que les règles sont à changer ? Qui ne connaît même pas sérieusement la notion de limite, ce qui fait qu'il ne parle jamais de la série, seulement de sommes partielles limitées arbitrairement ?
    Joueriez-vous au football avec quelqu'un qui conteste la règle "ne pas toucher le ballon avec les mains" parce que "c'est idiot" ? Oui, c'est idiot, mais c'est la règle. S'il prétend jouer au football, c'est lui l'idiot.
    Cordialement.
  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Mais gerard0, c'est justement parce que je suis novice et idiot comme vous dites (!! quelle élégance vraiment) que je refuse l'idée que la somme des termes d'une suite puisse changer en changeant l'ordre de ses termes. Pour moi, pardon, je voulais dire "à mon niveau", l'addition est commutative, il n'y a que pour les mathématiciens de très haut niveau comme vous qu'on peut se permettre de se passer de ce principe de base dans certains cas "avancés". Mais moi je ne suis pas d'accord, et si des gens se pose la question aussi je ne vois pas le mal d'en discuter sauf à vous déplaire, mais allez donc suivre les fils de discussions "confirmés" avec plus de symboles que de mots, et laissez les gens s'amuser, car personnellement c'est ce que je fais ici, je trouve ça "amusant" les maths :)

    Bon, sinon, quand même, sans rire : "quel que soit k (même quand k -> ∞)" ce n'est pas une limite d'accord, mais ça commence à y ressembler furieusement quand même !... En tout cas je trouve que ça vaut le coup de se poser la question...
  • LP2
    LP2
    Modifié (December 2021)
    Fabien Sabinet a dit :
    je refuse l'idée que la somme des termes d'une suite puisse changer en changeant l'ordre de ses termes. Pour moi, pardon, je voulais dire "à mon niveau", l'addition est commutative
    La chose fondamentale que tu n'as pas comprise est que, malgré son nom, la somme d'une série n'est pas une somme (au sens courant du terme) mais une limite.
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Il faut choisir Fabien !
    Soit la suite que j’ai proposée plus haut est bien une bijection de $\mathbb N$, soit ça n’en est pas une !
    a) celle où on décale chaque dizaine.  
    b) celle où on pose un impair puis deux pairs, puis un impair, puis deux pairs. 
    Ton histoire de « quel que soit k », ça n’arrive que quand on change de place un nombre fini de termes. 
    Dans mon a) et dans mon b) on déplace un nombre infini d’entiers. 
    C’est le fond du débat. 
    On peut rédiger un théorème : quelle que soit la série, si on change l’ordre d’un nombre fini de termes alors elle est de même nature et si elle converge, la limite reste la même. C’est cela ton « intuition » à toi. 
    En effet, à partir d’un certain rang, les termes sont égaux. 
    On peut aussi se permettre des échanges en nombre infini, par exemple changer la place des termes impairs avec celle des termes pairs. 
    2-1-4-3-6-5-8-7-10-9 etc. il me semble que ça ne doit pas changer grand chose. 
  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    LP2 a dit :
    .... la somme d'une série n'est pas une somme (au sens courant du terme) mais une limite
    On calcule la somme grace à une limite car on ne peut pas "additionner" au sens propre tous les termes, mais c'est une somme à la base.
    Dom
    ..... bijection  ... 
    Vous essayez (tous) de ramener le débat sur la bijection, car c'est la seule branche qui reste "solide" dans cette histoire, et j'avoue qu'elle m'a troublé à un moment, mais ce n'est pas le fond du débat non, le fond du débat c'est ce que j'ai proposé en introduction de ce fil et que j'ai précisé dans mon message précédent de façon plus correcte :
    • Si on compare la somme des termes de la suite réarrangée jusqu'au terme -1/4k quel que soit k (même quand k -> ∞) et la somme des termes de la suite originale jusqu'au même terme -1/4k, on trouve que la "suite réarrangée" exclut toujours les termes (tous positifs) avec dénominateurs impairs allant de 2k+1 à 4k-1, et que la somme des termes de cette "sous suite exclue" tend vers Ln(2)/2 quand k -> ∞
    De ça personne n'en a parlé, pourtant c'est parfaitement vrai aussi, autant que la bijection, et c'est tout aussi troublant quand même....
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Bonjour,

    1) la remarque de LP2 est fondamentale
    2) quand on manipule l'infini, les règles du fini ne s'appliquent pas forcément, par exemple : vous disposez d'un nombre infini de billes et d'un sac illimité, vide au départ, à chaque étape vous ajoutez 10 billes et en retirez une, au bout d'une infinité d'étapes, combien de billes sont dans votre sac ?
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • zeitnot
    zeitnot
    Non, on ne les exclut pas... Ils arriveront "plus tard". :smiley:

    Si je compte les entiers naturels ainsi :
    0 ; 1 ; 10 ; 2 ; 3 ; 20 ; 4 ; 5 ; 30 ; 6 ; 7 ; 40 ; 8 ; 9 ; 50 ; 11 ; 12 ; 60 ; 13 ; 14 ; 70 ; 15 ; 16....

    Est-ce que j'oublie du monde ?

    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • zeitnot
    zeitnot
    Modifié (December 2021)
    Et si je compte ainsi

    0 ;  1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 4 ; 7 ; 9 ; 11 ; 6 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 ; 8 ; 21 ; 23 ; 25 ; 27 ; 29 ; 10......

    Je n'oublie personne non plus...
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Fabien Sabinet
    Fabien Sabinet
    Modifié (December 2021)
    Médiat_Suprème
    .... quand on manipule l'infini, les règles du fini ne s'appliquent pas forcément ...
    Je pense justement que c'est la preuve (ou le signe) qu'on manque cruellement de règles solides concernant l'infini, c'est que je disais plus haut. Toute les démonstrations mathématiques "étonnantes" font intervenir l'infini... Alors c'est "amusant" mais c'est souvent pas très sérieux.

    zeitnot
    on ne les exclut pas... Ils arriveront "plus tard"

    Ils arriveront "plus tard" certes, mais attention, ils seront également toujours (c'est ce qui est essentiel) remplacés par encore PLUS de termes, toujours plus... Jusqu'à l'infini...

  • Dom
    Dom
    Gérard a une fois de plus raison. 
    Fabien, tu fais le sourd. C’est toi. Il ne faut pas renverser les rôles. 
    On a commenté ton « quel que soit k », on a dit que c’était « évident » que cet argument n’allait pas. 

    Soit on accepte de ne changer l’ordre que d’un nombre fini de termes. Soit on accepte d’en échanger une infinité. 

    TU AS RAISON si tu choisis de ne changer qu’un nombre fini de termes. En effet, dans ce cas, la limite ne change pas. 
    C’est tout. 

    Remarque : encore une fois, écrire « (suite) - (suite exclue) » est un mensonge car on n’a pas retiré des termes !
    Peut-être qu’aussi tu ne saisis pas qu’étudier dans ce contexte une somme de série, c’est étudier la suite de ses sommes partielles. C’est ça l’idée de l’ordre des termes. 
    Une autre théorie, celle des familles sommables, ne prend pas en compte l’ordre des termes. 
  • zeitnot
    zeitnot
    C'est vrai remplacé par plus de termes, mais au final on a oublié personne, c'est bien le plus important.  :)

    J'ai bien conscience que quand on dit ça, pour le moment tu nous prends pour des escrocs.

    Cordialement.
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
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