Parution des lectures grothendieckiennes

Une co-édition entre Spartacus-idh et la Société Mathématique de France, accessible gratuitement en ligne et disponible en version papier, qui rassemble les textes issus d'un séminaire tenu au département de mathématiques de l’École Normale Supérieure de 2017 à 2018. 

éditeur : Frédéric Jaëck
auteurs : Pierre Cartier, Olivia Caramello, Alain Connes, Laurent Laforgue, Colin McLarty, Gilles Pisier, Jean-Jacques Szczeciniarz, Fernando Zalamea
la page du livre : https://spartacus-idh.com/094.html
les vidéos : https://spartacus-idh.com/videos/094/
le texte en ligne : https://spartacus-idh.com/liseuse/094/#page/1

Réponses

  • Dreamer
    Modifié (December 2021)
    Bonjour.
    Une chose que je ne comprends pas : Pourquoi l'édition électronique est accessible gratuitement en ligne alors que l'édition papier est à 32.9 euros pour près de 300 pages ?
    Les serveurs, ça ne coûte rien ?
    Merci pour ces lectures.
    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • CultureMath
    Modifié (December 2021)
    @Dreamer
    Cela fait partie de la philosophie de ce projet éditorial de défendre le plus possible l'accès gratuit en ligne... En espérant que cela dure !
  • Héhéhé
    Modifié (December 2021)
    Les textes sont très intéressants, merci, mais quitte à défendre l'accès gratuit, pourquoi ne pas fournir directement le fichier pdf ? 
    Cette liseuse en ligne est vraiment désagréable: mauvaise qualité, sur Chrome je n'arrive pas à zoomer (le texte est assez petit), le texte est parfois coupé, etc.
    En plus, on consomme de la bande passante pour rien.
  • Bonsoir.
    Il ne faut pas exagérer non plus, ce n'est pas comme du streaming de vidéos ou du minage de bitcoin, mais c'est effectivement un peu cher pour de la gratuité.
    À bientôt.

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  • df
    df
    Modifié (December 2021)
    Il y a vraiment un effort d’explications dans les « $\textbf{Lectures…}$» mais je n’ai toujours rien compris aux topos et à la plupart des concepts. Je crois avoir saisi l’utilité des faisceaux dans le problème du passage « local/global » : il peut y avoir un isomorphisme local avec un ouvert de $\mathbb{R}^n$ mais pas globalement.
  • flipflop
    Modifié (December 2021)
    Hello,
    héhéhé : en fait, avec la visieuse, il est très difficile d'imprimer le document. Tu peux consulter le document via la visionneuse, mais si tu souhaites le lire vraiment ! Et bien,c'est un investissement assez léger, je veux dire un livre de maths c'est un truc qui se lie sur une vie,  ! 50€ c'est dépensé sur une 3 jours !
    C'est une manière de faire entrer un peu d'argent dans le secteur mathématiques ! 
    Df : Est-ce que tu veux avoir un exemple de topos ? À mon avis, il faut oublier la topologie pour commencer ?!?
  • df
    df
    Modifié (December 2021)
    Salut flipflop: oui je veux bien un exemple !  C’est étonnant que tu dises qu’il faut oublier la topologie dans un premier temps car je me demandais naïvement si il existait une manière essentiellement algébrique d’aborder les topos.
  • Je suis sous Ubuntu, la lecture est agréable et fluide, merci aux protagonistes du projet pour cet accès, les textes sont écrits par des mathématiciens de premier plan; quant au prix, franchement, 30 boules il faut pas déconner, ça les vaut. À la rigueur on pourrait évoquer le côté militant de ce genre d'achat, pourquoi pas, si ça soutient l'édition scientifique française, j'en suis.
    "J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
  • Bonjour,

    Ajoute 9 € si tu ne vis pas au centre du monde autoproclamé Paris.

    Cordialement,
    Rescassol

  • flipflop
    Modifié (December 2021)
    Salut Df,
    J'ai beaucoup de mal avec l'interface du forum, peut-être une question d'habitude.
    Bon c'est vraiment pas grand chose et je ne suis pas du tout spécialiste du thème, j'ai juste regardé un tout petit peu certain truc et je te donne un point de vu débutant !

    Pour des exemples de topos, on n'a pas besoin de topologie. L'exemple de base de topos se construit de la manière suivante. Tu prends une catégorie $\mathcal{C}$ et tu considères la catégorie $\text{Func}(\mathcal{C},\text{Ens})$ et bien c'est un topos.  Un objet de cette catégorie est donc un foncteur $X : \mathcal{C} \to \text{Ens}$ et je trouve qu'une manière d'y penser est de se dire que $X$ est un ensemble mais variant selon $\mathcal{C}$. C'est peut-être un peu nébuleux de dire ensemble variant mais je te donne un exemple tout de suite.
    Exemple : je prends $\mathcal{C}$ la catégorie des anneaux, donc je regarder les foncteurs $\text{Cring} \to \text{Ens}$, par exemple je part de l'équation $x^2+1 = 0$, et je regarde les solutions de cette d'équation : pour chaque anneau $R$ j'ai un ensemble $\mathcal{G}(R) := \{ r \in R \mid r^2+1 =0\}$ solution de l'équation dans $R$. Il se trouve également que lorsque tu as un morphisme d'anneau $\phi : R \to R'$ et bien $\phi$ induit une application $\mathcal{G}(R) \to \mathcal{G}(R')$ , puisque si $r \in R$ vérifie $r^2+1 =0$ et bien $\phi(r)^2 +1 = 0$ dans $R'$. Et bien $\mathcal{G}$ est un foncteur  et tu vois c'est un ensemble qui varie selon les anneaux.

    Maintenant, la première chose à voir c'est que l'on peut faire de la théorie des ensembles naïves.  Quand tu fais des maths tu as toujours besoin des notions ensembliste basique. Parler de sous-ensemble, parler de produits cartésiens, parler de groupe d'anneaux etc !
    Donc l'idée c'est que dans cette catégorie de foncteur tu peux parler de tous ça. Donc ici quand je dis foncteur tu penses à un ensemble variant.

    a. Soit $X$ et $Y$ deux foncteurs, on dit que $Y$ est un sous-foncteur de $X$, lorsque
    1. La condition ensembliste, pour tout objet $C$ de  $\mathcal{C}$, on a : $Y(C) \subset X(C)$.
    2. La condition " variant ", pour tout morphisme $\phi : C \to D$, pour tout $y \in Y(C)$, $Y(\phi)(y) = X(\phi)(y)$, c'est-à-dire que l'action de $Y$ sur les morphismes est la même que l'action de $X$ sur les morphismes.
    Exemple. On reprend la catégorie des anneaux. J'introduis un autre foncteur $\mathbb{A}^1 : R \to R$ donc à un anneaux $R$ j'associe l'ensemble sous-jacent. Bien entendu, pour un morphisme $\phi : R \to R'$, l'action du foncteur $\mathbb{A}^1$ sur le morphisme $\phi$ est simplement $\phi$ que l'on voit comme une application entre les ensembles sous-jacents i.e $\mathbb{A}^1(\phi) : \mathbb{A}^1(R) \to \mathbb{A}^1$ est simplement égale à  $\phi$.
    Le foncteur $\mathcal{G}$ est un sous-foncteur de $\mathbb{A}^1$. En effet, pour chaque anneaux $R$, on a bien $\{r \in R \mid r^2+1 =0 \} \subset R$. Et pour tout morphisme $\phi : R \to R'$, l'action de $\mathcal{G}$ sur $\phi$ est donnée par $\mathcal{G}(\phi) : \mathcal{G}(R) \to \mathcal{G}(R')$ qui à $r$ associe $\phi(r)$, c'est bien $\mathbb{A}^1(\phi)$ !
    Remarque : c'est un peu tendu au niveau de l'écriture mais c'est vraiment évident !

    b. Ensuite, on peux faire intersection de sous-foncteurs. Soit $X,Y \subset Z$, alors $X \cap  Y := C \mapsto X(C) \cap Y(C)$.
    c. Tu peux faire des produits cartésiens, Soit $X, Y$ deux foncteurs et bien $X \times Y := C \mapsto X(C) \times Y(C)$.
    Normalement tu vois le principe.

    d. Un truc piégeux. Soit $Y \subset X$, on souhaite construire $X \setminus Y$ (le complémentaire). La première idée est de dire que $(X \setminus Y)(C) := X(R) \setminus Y(R)$ et là gros problème car cette construction n'est pas fonctorielle. En gros, pour un morphisme $\phi : C \to D$,  $X(\phi)$ n'envoie pas $X(R) \setminus Y(R)$ sur $X(R') \setminus Y(R')$.
    On examine le problème sur un exemple. Donc $\mathcal{C}$ la catégorie des anneaux, je prends le sous-foncteur $\{0\}$ de $\mathbb{A}^1$ : pour tout anneau $R$,  $\{ 0 \} (R)$ est simplement le sous-ensemble $\{0_R\}$ de $R$.  Si j'ai un anneau $R$,  un élément non nul $r \in R$, et un morphisme d'anneau $\phi : R \to R'$ et bien il est faux que $\phi(r') \ne 0$ dans $R'$.
    Donc là il faut modifier la définition de foncteur complémentaire.
    Là je te donne la définition dans le cadre des foncteurs de la catégorie des anneaux commutatifs vers la catégorie des ensembles. Soit $Y \subset X$ un sous-foncteur. On pose : $$X \setminus Y := R \mapsto \{ x \in X(R) \mid \text{Pour tout }\phi : R \to R',\ X(\phi)(x) \in Y(R') \text{ implique que }R'\text{ est l'anneau nul} \}.$$
    C'est un peu tendu comme définition.
    Je vais calculer $\mathbb{A}^1 \setminus \{0\}$.
    Soit $R$ un anneau et $r \in  (\mathbb{A}^1 \setminus \{0\})(R)$, alors pour tout morphisme $\phi : R \to R'$, $\phi(r) = 0$ entraîne que $R' = 0$.
    prenant comme morphisme d'anneau le morphisme $\pi : R \to R/rR$ de réduction modulo $r$ vu que $\pi(r) =0$, on a que $R/ rR = 0$ est donc que $r$ est inversible réciproquement si $r$ est inversible, alors il existe $u  \in R$ tel que $r u =1$, et si $\phi : R \to R'$ est un morphisme d'anneaux tel que $\phi(r) = 0$, on obtient $1 = \phi(ru) = \phi(r) \phi(u) = 0$, donc $1 = 0$ dans $R'$ et $r$ est bien dans $(\mathbb{A}^1 \setminus \{0\})(R)$ !
    Finalement le complémentaire de $\{0\}$ dans $\mathbb{A}^1$ est le foncteur $R \mapsto \{ \text{inversible de }$R$\}$.

    Pour finir et illustrer un truc important, je vais calculer maintenant le complémentaire du complémentaire de $\{0\}$, avec les ensembles classiques le double complémentaire est trivial ici ce n'est plus vrai !
    Je note $\mathbb{G}_m$ le foncteur $R \mapsto  \{ \text{inversible de $R$}\}$  et je cherche son complémentaire dans $\mathbb{A}^1$. Soit $R$ un anneau, soit $r \in (\mathbb{A}^1 \setminus \mathbb{G}_m)(R)$. Je considère le morphisme de localisation $\iota : R \to R_{(r)}$ donc la localisation par rapport à la partie multiplicative engendré par $r$ donc dans $R_{(r)}$ $r$ devient inversible i.e $\iota(r) \in \mathbb{G}_m(R_{(r)})$ est donc  $R_{(r)} = 0$ et donc d'après un résultat d'algèbre commutative c'est que $r$ est nilpotent. Réciproquement, si $r$ est nilpotent et tu vérifies que $r \in (\mathbb{A}^1 \setminus \mathbb{G}_m)(R)$, puisqu'un élément nilpotent ne peux définir inversible que si l'anneau est nul !
    Bref le double complémentaire de $\{0\}$ est plus gros que $\{0\}$ c'est le foncteur $R \mapsto \{\text{Nilpotent de } R \}$. Un truc du style $A \to \text{Non non }A$ mais la réciproque est fausse $\text{non non}(A)$ n'implique pas $A$. Par contre, $\text{non non non} A$ est équivalent à $\text{non} A$ et donc petit exercice : calculer le complémentaire du foncteur $R \mapsto \{\text{nilpotent de $R$} \}$ donc $\text{non non non} \{ 0 \}$ et voir qu'il correspond à $\mathbb{G}_m$ i.e $ \text{non} \{0\}$ !

    Je termine avec une petite phrase de Claude, il a du répéter au moins $50$ fois sur ce forum,  "ne jamais dire $x \ne 0$ dans le contexte de l'algèbre commutative il faut dire $x$ inversible". 
    Je stoppe là, je n'ai pas dit grand chose mais c'est déjà long ! 
  • Wao, merci ! Y a du boulot ! Je vais faire comme Claude, je vais imprimer ton long post et l’étudier bien tranquillement.

    Moi aussi, j’ai été frappé par le fait de rencontrer souvent des résultats basiques de théorie des ensembles cachés derrière des problèmes d’algèbre abstraite. Une fois réglé les problèmes de compatibilité de structures, il reste des opérations ensemblistes de réunions et d’intersections !
    C’est vraiment le substrat de toute activité mathématique.

    Car « Tout est ensemble » (ou plutôt « Tout est catégories » ) et c’est ma première illumination de Noël !
    Encore merci.

  • Spartacus_IDH
    Modifié (December 2021)
    Bonjour Héhéhé, dans le cas des textes niveau recherche, nous essayons en effet de mettre le pdf également à disposition dès que possible. Dans le cas des co-éditions (comme c'est le cas pour cet ouvrage), c'est toujours un peu plus compliqué : cela peut prendre quelques temps avant que le pdf ne soit disponible, mais c'est l'objectif à terme.
  • Spartacus_IDH
    Modifié (December 2021)
    Bonjour @Rescassol
    Juste pour signaler (et ce n'est pas dans l'idée de spamer le forum avec de la pub) qu'il n'y a pas de frais de port pour la France métropolitaine (ainsi que 10% de réduction pour les adhérents SMF, le code de réduction est indiqué sur la page du livre).
  • Spartacus_IDH
    Modifié (December 2021)
    Pour ceux que cela intéresserait, nous nous permettons de signaler un chapitre d'un livre d'Yves André qui donne une intuition en quelques pages de la notion de topos : il s'agit du chapitre 2 de ses Dix regards sur la mathématique contemporaine :
     https://spartacus-idh.com/liseuse/078/#page/28
    (Le pdf de ce livre est librement accessible)  
    Merci à tous pour vos commentaires qui nous permettent de nous améliorer et pour votre soutien ! 
  • Rescassol
    Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Oui, Spartacus, ce que j'ai dit s'applique aux commandes à la SMF, je l'ai donc commandé aux éditions Spartacus, avec les 10%.
    Cordialement,
    Rescassol
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