Calcul numérique d'une somme de série

Guego
Modifié (December 2021) dans Analyse
En postant ce message https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2331372#Comment_2331372 , je me suis demandé : tiens, au fait, combien vaut la somme $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin(n^2)}{n}$ (numériquement, car je ne pense pas qu'il y ait de formule close) ? Est-ce possible de la calculer efficacement ?
Les sommes partielles convergent très lentement (je dirais que le reste est en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$). Même avec plusieurs millions de termes, on n'a pas mieux que 3 ou 4 décimales (en faisant la somme des 40000000 premiers termes, j'ai 0.1668). Est-ce que quelqu'un voit comment on pourrait on peut faire mieux ?

Réponses

  • Dreamer
    Modifié (December 2021)
    Bonsoir.
    Déjà la convergence n'est pas évidente à prouver (uniformité des carrés modulo 2 Pi et autres équivalents de séries complexes, en passant par des critères sur des nombres de Liouville et des mesures d'irrationnalité).
    Peut-être l'$\epsilon$-algorithme ou le $\theta$-algorithme ?
    Si quelqu'un en a une implémentation actuelle il pourrait essayer, de mon côté je vais commencer par réimplémenter une version Algol de l'$\epsilon$-algorithme trouvée sur https://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Foai.cwi.nl%2Foai%2Fasset%2F9225%2F9225A.pdf
    À bientôt.
    [Edit : Wolfram Alpha jette l'éponge de plus en plus vite, c'est à peine si il veut bien afficher un graphique des 10 premiers termes de la somme partielle, la valeur n'en parlons pas.]

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    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Guego
    Modifié (December 2021)
    Je reviens sur mon problème pour lequel j'ai eu une idée. On a $\dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-n^2x^2}dx$, donc par une permutation série-intégrale (non justifiée), on a $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin(n^2)}{n} = \int_{0}^{+\infty} f(x)dx$ où $f(x) =\dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \sin(n^2)e^{-n^2x^2}$.
    Or, $f$, malgré son expression redoutable, a une allure plutôt gentille :

    Elle décroît très vite, ce qui va permettre d'approximer l'intégrale sur $[0;+\infty[$ par une intégrale sur $[0;5]$ (ou $[0;10]$ si on veut être prudent).
    Zoom au voisinage de 0 :
    Et encore plus :
    Bref, une fonction bien sympathique et bien lisse sur laquelle on peut faire de l'intégration numérique.
    Avec la méthode des trapèzes sur $[0;10]$ avec un pas de $10^{-4}$, je trouve $0.167075117188$.
  • Math Coss
    Modifié (December 2021)
    Il faudrait être un peu plus clair sur le nombre de termes à sommer. Dans la première ci-dessous, c'est 1000 termes (p est une valeur approchée de $\pi$).
    sage: numerical_integral(f(x),0,20)
    (0.16444684537873772, 2.988334737960731e-08)
    sage: def f(x,n=10000):
    ....:    return add(sin(k^2*1.)*exp(-k^2*x^2)*2/sqrt(p) for k in range(1,n+1))
    ....: 
    sage: numerical_integral(f(x),0,20)
    (0.1680778870795045, 2.944291029442249e-07)
    sage: numerical_integral(f(x),0,30)
    (0.1680778870794958, 3.9661373143497734e-09)
    sage: def f(x,n=30000):
    ....:    return add(sin(k^2*1.)*exp(-k^2*x^2)*2/sqrt(p) for k in range(1,n+1))
    ....: 
    sage: numerical_integral(f(x),0,10)
    (0.16737727607203373, 2.472231361515503e-09)
    
  • Guego
    Modifié (December 2021)
    La fonction telle que je l'ai programmée ne somme pas un nombre fixé de termes : je somme jusqu'à ce que $e^{-n^2x^2}$ soit plus petit qu'un certain seuil de tolérance. Comme je craignais les instabilités numériques, j'ai mis le seuil à $10^{-30}$ en paramétrant maple pour faire les calculs avec une précision de $50$ décimales (on n'est jamais trop prudent).
  • Bonjour.
    Pas mal ce que vous faites.
    De mon côté, l'$\epsilon$-algorithme ne semble pas marcher, trop d'instabilités numériques, sans compter que je ne fais sans doute pas les calculs avec une précision suffisante.
    A bientôt.

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