Test de divisibilité par 6 et 8

Tyoussef
Modifié (December 2021) dans Arithmétique
Bonjour ou bonsoir (voir l'heure).
En 2019, un élève de Nigeria nommé Chika Ofili, a mit au point un test de divisibilité par 7. Ma question y a-t-il des tests de divisibilité par 6 et par 8 ? 
Merci d'avance.

Réponses

  • On peut avoir un lien vers le test de Chika Ofili ? Je connais la méthode de Pascal et celle proposée par Deledicq dans La jubilation mathématique.
    Pour 6, un nombre est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3.
    Pour 8, c’est plus pénible. Un nombre est divisible par 8 si et seulement si, dans son écriture décimale, la troncature de cette écriture à ses trois derniers chiffres est divisible par 8.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • gerard0
    Modifié (December 2021)
    Oui.
    par 6 : dernier chiffre pair + somme des chiffres divisible par 3.
    Par 8 : 3 derniers chiffres forment un nombre divisible par 8
    Exemple : 570696; 6 est pair et 5+7+6+9+6 est divisible par 3 (5+7=12, les autres multiples de 3); 696 =640+56 divisible par 8. Donc 570696 est divisible par 6 et par 8.
    Cordialement.
  • Dasson
    Modifié (December 2021)
    Rectification, merci Gerard !
    Avec des nombres premiers
  • Dasson : 
    22 est divisible par 2, est divisible par 2, est divisible par 2, donc il est divisible par 8 ?

    Cordialement 
  • Heuristique
    Modifié (December 2021)
    Bonjour,

    S'il s'agit de ce test par 7 là, il est connu depuis longtemps.
    Tout s'inspire du critère par 7 : le nombre $10a+b$ (où $a$ est le nombre de dizaines et $b$ le chiffre des unités) est divisible par 7 ssi $2b-a$ est divisible par 7.

    Pour les autres tests de divisibilité, on a des méthodes plus générales pour un test de divisibilité par $n$ pour tout $n$.
    A peu près tous les tests de divisibilité ont la même forme que le critère par 7 :
    $10a + b$ est divisible par 13 ssi $4b+a$ est divisible par 13.
    $10a + b$ est divisible par 17 ssi $5b-a$ est divisible par 17.
    $10a + b$ est divisible par 19 ssi $2b+a$ est divisible par 19.

    Plus généralement, pour tout entier $n$ premier avec 10, il existe un entier $m(n)$ tel que
    $10a+b$ est divisible par $n$ ssi $m(n)b+a$ est divisible par $n$.
    Le fameux $m(n)$ est une fonction relativement simple puisqu'elle est affine par morceaux selon la classe de $n$ modulo 10.

    Pour traiter les puissances de 2 et 5, il faut effectivement utiliser les derniers chiffres mais cela est moins pratique...
    Heuristique.
  • Bonjour.
    Attention à la capacité journalistique qui sublime les faits.
    1) Oui, l'auteur est d'origine Nigeriane et avait 12 ans au moment de sa découverte, mais il vit au Royaume Unis, et quand on gratte un peu, a suivi une scolarité privilégiée, on ne parle pas d'un pauvre démuni qui gratte le sol pierreux du Nigeria à la recherche du critère de divisibilité qui changera la face du monde.
    2) Comme rappelé par @Heuristique, ce critère peu enseigné à cet âge n'est pas forcément nouveau, il faut dire que la différence avec le critère classique que tous les curieux ont pu trouver par le passé réside dans le changement du signe '-' par un signe '+' dans la procédure, certains auront remarqués que le journaliste n'hésite pas à parler de "nouvelles mathématiques".
    3) Un prix à été décerné pour favoriser le jeune qui a fait cette découverte, était-ce nécessaire quand on analyse froidement la situation ? Je ne sais pas.
    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • i.zitoussi
    Modifié (December 2021)
    Il faut quand même faire attention aux mots. Il n'a pas découvert mais redécouvert, ce qui est malgré tout impressionnant vu son âge.
    Ensuite, pour le calcul à la main, la réduction mod 7 des chiffres (par paquets de 1 ou 2) reste la méthode de loin la plus simple à mon avis. Exemple au hasard: $4568912 \equiv 4001212 \equiv 4000505 \equiv 4000015 \equiv 4000001 \equiv 1+4\times 10^6 \equiv 1+4\times 3^6\equiv 1+4 \equiv 5\mod 7$. (Il y a plein de manières de faire).
    Après je bloque.
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    En écrivant modulo 7 : 
    $1=1$
    $10=3$
    $100=2$
    $1000=6$
    $10000=4$
    $100000=5$
    Ensuite, ça revient à $1$, puis $3$, etc.
    Le nombre $\overline{abcdef}$ est divisible par $7$ si et seulement si $5a+4b+6c+2d+3e+f$ est divisible par $7$. 
  • Un peu plus facile à mémoriser que (1,3,2,6,4,5)  , et donnant des multiplications plus simples : (1,3,2, -1,-3,-2)
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Tyoussef
    Modifié (December 2021)
    $@ gerard0 $
    Très bonne idée, le contre-exemple du numéro $22$. Avez-vous un autre pour la divisibilité par $ 6 $ ?

  • D'accord avec Dom, complété par Lourrran. Tout cela est bien connu.
    Je l'avais retrouvé tout seul en classe de cinquième (on nous y enseignait les congruences). La seule difficulté que j'avais rencontrée c'était de faire une preuve rigoureuse.
    Cordialement
  • Tyoussef
    Modifié (December 2021)
    $@ Dom $
    Alors, $Dom$ :)  , c'est la forme décimale des multiplicateurs de $7$. C'est ça. Non ??
    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Salut. 
    Je ne sais pas ce que l’on appelle « multiplicateur de 7 ».
    J’avais cherché cela quand on m’avait appris les congruences. À mon époque, c’était en L1. Et je m’étais demandé pourquoi on ne parle que de $3$, de $9$ ou de $11$. 
    Bon, c’est clairement moins amusant avec $7$…
  • gerard0
    Modifié (December 2021)
    Tyoussef, la règle que j'ai donnée pour la divisibilité par 6 est correcte (2 et 3 sont premiers entre eux). Celle pour 8 aussi, Celle de Dasson était du n'importe quoi, il a peut-être voulu dire autre chose, mais il aurait dû faire attention.
    Cordialement.
  • @Tyoussef
    Prenons le nombre 2345
    Essayons de voir si ce nombre est divisible par 7, et même un peu mieux, calculons le reste de la division de 2345 par 7.

    5, c'est 5 unités. On le prend tel quel.
    4, c'est 4 dizaines, c'est 4*10, 4*(7+3)  et comme on s'intéresse au reste de la division par 7 , 4x(7+3), c'est la même chose que 4x3
    D'où le 3 donné dans la formule de Dom
    Donc 2345, ou 2300  + 12+5,  ou 2300 + 17, c'est pareil, quand on regarde modulo 7

    3, c'est 3 centaines, 3*100, 3*(14*7+2)...et donc, c'est comme 3*2
    Donc 2345, ou 2000 +6+17 ou 2000 + 23 , c'est pareil.

    2 , c'est  2 milliers, c'est 2* (1001-1) , c'est comme 2*(-1)  parce que 1001 est un multiple de 7
    Donc 2345, c'est comme  2*(-1) + 23, c'est à dire 21   

    21 est divisible par 7, donc 2345 est divisible par 7.
     
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Autre manière : 2345234−2×5=22422−2×4=14 OK.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • On peut aussi retirer des multiples de 7 à notre convenance. 
    2345 - 2100 = 245
    245 - 210 = 35
    chouette !
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