Groupe fondamental d'une variété affine complexe

marco
marco
dans Algèbre
Bonjour,
Le groupe fondamental d'une variété algébrique affine complexe peut-il avoir de la torsion ? Je sais que pour les variétés algébriques affines réelles, c'est vrai, par exemple pour $SO(3)$, le groupe est $\Z/2\Z$.
Merci d'avance.

Réponses

  • NoName
    NoName
    Si tu regardes des plongement de Veronese en affine, et que tu fais agir $\mu_n$ dessus, alors l'image du complémentaire de 0 (pour avoir une action libre), donne une variété affine dont le groupe fondamental est $\mu_n$ vu la simple connexité de l'espace de départ.
  • NoName
    NoName
    Bon, c'est simplement quasi affine, pas affine.
    Cela dit si tu regardes le complémentaire d'une hypersurface dans l'espace projectif, alors par dualité d'Alexander, le complémentaire d'hypersurface de degré d ont un $H_1$ avec de la torsion, ca ne signifie pas que leur $\pi_1$ en a aussi malheureusement.
  • marco
    marco
    Modifié (December 2021)
    Merci NoName. J'ai regardé sur Internet: le plongement de Veronese en projectif, c'est par exemple: $[x,y,z] \mapsto [x^2,y^2,z^2,xy,xz,yz]$, donc en affine cela doit être $(x,y,z) \mapsto (x^2,y^2, z^2,xy,xz,yz)$ (ce n'est alors pas injectif). Quel groupe est $\mu_n$ ? Pourquoi le quotient de la variété image par $\mu_n$ est-il encore une variété affine ?
    Peut-être $\mu_n$ est les racines $n$-ièmes de l'unité, donc ici il faut choisir $n=2$. Donc $\C^3 \setminus \{0\}$ quotienté par $(x,y,z) \equiv (-x,-y,-z)$  est isomorphe à son image par le plongement de Veronese en affine, qui est bien une variété affine. Or le groupe fondamental du quotient est $\Z/2\Z$. Donc le groupe fondamental de l'image aussi.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Il peut apparemment même être de torsion : https://mathoverflow.net/questions/143129/the-fundamental-group-of-a-complex-quasi-affine-variety
  • marco
    marco
    Merci Maxtimax. Je ne comprends pas la différence entre quasi-affine et affine. Une variété affine, c'est bien une sous-variété algébrique de $\C^n$ ? C'est-à-dire l'ensemble des points $(z_1, \dots, z_n) \in \C^n$ tels que $f_1(z_1, \dots, z_n)=0, \dots, g_1(z_1, \dots, z_n) \neq 0$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    marco : la réponse donnée dans le post que j'ai indiqué dit que c'est même possible dans le cas affine. 
    La différence entre affine et quasi-affine c'est que dans le second tu peux retirer des points. Par exemple, $\mathbb A^2\setminus\{0\}$ n'est pas affine, mais c'est un ouvert dans $\mathbb A^2$ donc c'est quasi-affine. 
  • NoName
    NoName
    Modifié (December 2021)
    Ok, donc le complémentaire d'une hypersurface lisse a un groupe fondamental abélien... ça ne me saute pas aux yeux.
    Quasi affine c'est un ouvert d'un affine, et affine, isomorphe à un fermé d'un $\mathbb{A}^n$ disons. Le groupe $\mu_n$ est bien celui des racines $n$-ièmes de l'unité.
  • marco
    marco
    Modifié (December 2021)

    Merci, je croyais qu'on pouvait retirer les points $f=0$ en écrivant $fz-1=0$, mais pour $\mathbb{A}^2 \setminus \{0\}$, ce n'est pas possible. L'image d'une variété quasi-affine par une fonction dont toutes les coordonnées sont des polynômes est-elle encore une variété quasi-affine ?
  • NoName
    NoName
    Modifié (December 2021)
    En général non, l'image est constructible seulement.
  • marco
    marco
    Merci, en effet, si on choisit $f: \C^2 \rightarrow \C^2$ qui à $(x,y)$ associe $(x,xy)$, alors l'image est $(\C^* \times \C) \cup \{(0,0)\}$, qui n'est pas quasi-affine.
  • Mauricio
    Mauricio
    Modifié (December 2021)
    @noname: Je ne sais pas si je comprends bien ce que tu écris, mais  en tout cas le complémentaire de deux points dans $\mathbb{C}$ ce n'est pas vraiment abélien :-)
  • NoName
    NoName
    Modifié (December 2021)
    Tu as raison, mais en dimension plus grande que 1 strictement pour l'espace ambiant, les hypersurfaces (projectives) lisses sont irréductibles, et mon cerveau a de toute façon tendance à faire le raccourci lisse = lisse + connexe. ;-)
    Je ne sais toujours pas démontrer l'assertion linkée par Maxtimax
    Dimca a dit :
    In particular, if $V$ is irreducible and normal of degree $d$, one has $$\pi_1(U)=\mathbb{Z}/d \mathbb{Z}.$$
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