Homologie avec $d^n=0$ au lieu de $d^2=0$

marco
Modifié (November 2021) dans Catégories et structures
Bonjour,

Est-ce qu'il y a une théorie de l'homologie pour laquelle, au lieu d'avoir $d\circ d=0$, on a $d^n=0$ ? C'est-à-dire que l'on considérerait une suite de modules $(M_i)_{i \in \Z}$ avec des morphismes $d_i$ de $M_i$ vers $M_{i+1}$, tels que $d_{i+n-1} \circ d_{i+n-2} \circ \cdots \circ d_i=0$ pour tout $i \in \Z$. On définirait alors, pour tout $i \in \Z$, $n-1$ groupes d'homologie $H_{i,k}$ par $H_{i,k}=\ker (d_{i+k} \circ \cdots \circ d_i) / \mathrm{im} (d_{i-1} \circ \cdots \circ d_{i-n+k+1})$, pour $k=0, \dots , n-2$.
Merci d'avance.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    Modifié (November 2021)
    Bonjour
    As-tu un exemple qui motive cette question ?
    Une fois la définition posée, qu'en ferais-tu ?
  • Je suis quasi sûr que la question a été posée sur MSE ou MO et a eu au moins une réponse pas trop négative, mais je ne la retrouve pas ... (c'était avec $d^3$ spécifiquement)
  • marco
    Modifié (November 2021)
    Merci Maxtimax et GaBuZoMeu. Je me demandais par curiosité si ça existait.
  • Je trouve ça très bien d'être curieux, et réclamer à cor et à cris des exemples motivant la question, c'est tuer la créativité et in fine le développement des mathématiques dans l'oeuf.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (November 2021)
    Drôle de conception du développement des mathématiques, Sylvain !
  • C'est la mienne et je ne suis nullement désireux d'en changer, dussé-je ne pas la partager. 
    Pour en revenir au sujet, on pourrait examiner la question de savoir si l'existence d'un tel $n>2$ implique que ce soit un nombre premier.
  • La primalité est complètement à côté de la plaque : prendre un endomorphisme nilpotent $d:E\to E$ d'indice de nilpotence $n$ et poser $d_i=d$ pour tout $i$.
  • igorf
    Modifié (December 2021)
    marco a dit : Est-ce qu'il y a une théorie de l'homologie pour laquelle, au lieu d'avoir $d\circ d=0$, on a $d^n=0$ ?
    Oui !
    Jette un œil à cet agréable article de Micha Kapranov sur l'algèbre quantique aussi bien qu'aux travaux de Marc Henneaux et de ses co-auteurs sur les champs de jauge de spin plus élevé (par exemple).
    Et voilà qu'on montre qu'une partie essentielle de cette théorie des "$n$-complexes" se réduit à la théorie habituelle.
  • Merci pour cette réponse !
  • Seirios
    Modifié (December 2021)
    Cette discussion peut-être : Homological algebra and calculus (as in Newton) ?
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
  • Merci Seirios d'avoir retrouvé.
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