Exercice subtil sur les fonctions symétriques des racines

Piteux_gore
Modifié (December 2021) dans Algèbre
Bonjour,
On considère l'équation $x^n + p_{n-1}x^{n-1} +\ \cdots \ +\  p_1x + p_0 = 0$, dont les racines sont $r_1, \ldots, r_n$.
Calculer la fonction symétrique $\sum  r_1^2r_2^2\cdots r_{n-2}^2$.
A+
On apprend de tout sauf de ses erreurs. (Tedonxikon de Mycènes)

Réponses

  • Piteux_gore
    Modifié (December 2021)
    RE
    L'idée est de commencer par former l'équation aux carrés des racines de l'équation initiale.
    A+
    On apprend de tout sauf de ses erreurs. (Tedonxikon de Mycènes)
  • Bonsoir.
    Pourquoi le n-2 comme indice final dans la somme ?
    L'antépénultième racine est pestiférée ?
    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Rescassol
    Modifié (December 2021)
    Bonsoir,

    Il me semble comprendre que la somme à calculer est la somme des produits de $n-2$ racines prises parmi les $n$ racines de toutes les façons possibles.
    Peut-être vaudrait il mieux écrire quelque chose dans le genre $\displaystyle \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}  r_{\sigma(1)}^2r_{\sigma(2)}^2\cdots r_{\sigma(n-2)}^2$ ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • RE
    Cet oral X 1912 demande la somme des produits des carrés des racines prises $n - 2$ à $n - 2$, en clair le coefficient de $x^2$ dans l'équation aux carrés.
    Le truc est d'obtenir l'équation aux carrés sous une forme facilitant le calcul.
    A+

    On apprend de tout sauf de ses erreurs. (Tedonxikon de Mycènes)
  • Merci, c'est bien plus clair.
    À bientôt. 

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  • Rescassol
    Modifié (December 2021)
    Bonjour,

    Je trouve $(-1)^n(2p_0p_2-p_1^2)$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • i.zitoussi
    Modifié (December 2021)
    Coefficient de degré $2$ de $(-1)^nP(x)P(-x)$.

    Edit: Gros doute, je dirais plutôt que c'est le terme de degré 4 de $P(x)P(-x)$, soit $2p_0p_4-2p_1p_3+p_2^2$.
    Ces notations donnent le tournis, tout est à l'envers....


    Après je bloque.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Sans aucune subtilité, l'algorithme classique d'écriture des polynômes symétriques en fonction des polynômes symétriques élémentaires $\sigma_k$ aboutit sans trop d'efforts :
    $$ \begin{aligned} \sum r_1^2\cdots r_{n-2}^2&= \sigma_{n-2}^2 - 2\sum r_1^2\cdots r_{n-3}^2r_{n-2}r_{n-1} - 6 \sum r_1^2\cdots r_{n-4}^2r_{n-3}\cdots r_{n}\\ \sum r_1^2\cdots r_{n-3}^2r_{n-2}r_{n-1} &= \sigma_{n-3}\sigma_{n-1}  - 4 \sum r_1^2\cdots r_{n-4}^2r_{n-3}\cdots r_{n}\\   \sum r_1^2\cdots r_{n-4}^2r_{n-3}\cdots r_{n} &= \sigma_{n-4}\sigma_n\;, \end{aligned}$$
    ce qui donne
    $$\sum r_1^2\cdots r_{n-2}^2 = \sigma_{n-2}^2 - 2\sigma_{n-3}\sigma_{n-1} +2\sigma_{n-4}\sigma_n$$
    et il ne reste plus qu'à appliquer les relations coefficients-racines pour retrouver le remords de i.zitoussi.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (December 2021)
    Une troisième façon de résoudre l'exercice.
    Vu que $\sum r_1^2\cdots r_{n-2}^2$ est symétrique, à coefficients entiers, homogène de degré $2n-4$ et de degré 2 par rapport à chaque $r_i$, on sait qu'il s'écrit sous la forme $a\sigma_{n-2}^2+b\sigma_{n-3}\sigma_{n-1}+c\sigma_{n-4}\sigma_n$ où $a,b,c$ sont entiers. Pour déterminer ces entiers, on considère les cas où les $r_i$ sont $(1,1,1,1)$, $(1,1,1,0)$ et $(1,1,0,0)$, ce qui donne le système
    $$\left\{\begin{aligned} 6&= 36a + 16b+ c\\ 3&=9a+3b\\ 1&=a\end{aligned}\right.$$
    et on trouve bien $\sigma_{n-2}^2-2\sigma_{n-3}\sigma_{n-1}+2\sigma_{n-4}\sigma_n$.
  • Rescassol
    Modifié (December 2021)
    Bonjour,

    J'avais oublié que les indices en Matlab commencent à $1$ et non à $0$. C'est comme ça quand on fait du Matlab et du Python à la fois.
    En Matlab:
    clear all, clc
    
    syms x a b c d e f g
    
    R=[a b c d e f g].^2;
    for n=3:length(R)
        P=collect(expand(prod(x-R(1:n))),x);
        C=coeffs(P,x);
        [n,FracSym(C(3))]
    end
    Ce qui donne le résultat suivant:
    [3, - s1^2 + 2*s2]
    [4, s2^2 + 2*s4 - 2*s1*s3]
    [5, - s3^2 - 2*s1*s5 + 2*s2*s4]
    [6, s4^2 + 2*s2*s6 - 2*s3*s5]
    [7, - s5^2 - 2*s3*s7 + 2*s4*s6]
    Cordialement,
    Rescassol

    Edit: Encore un problème de balise code, le jaune revient

  • GaBuZoMeu
    Modifié (December 2021)
    Bonjour Rescassol
    Il y a visiblement un problème dans les résultats que tu sors : l'alternance de signe. Tu devrais multiplier par (-1)^n.
  • Rescassol
    Modifié (December 2021)
    Bonjour,
    Oui GaBuZoMeu, il faut remplacer $[n,FracSym(C(3))]$ par $[n,(-1)^n*FracSym(C(3))]$ dans mon code.
    Cordialement,
    Rescassol
  • Piteux_gore
    Modifié (December 2021)
    RE
    L'équation aux carrés des racines est
    $(p_0 + p_2(\sqrt x)^2 + p_4(\sqrt x)^4 + ... ) \pm \sqrt x(p_1 + p_3(\sqrt x)^2 + p_5(\sqrt x)^4 + ...) = 0$, soit
    $(p_0 + p_2x + p_4x^2 + ...)^2 = x(p_1 + p_3x + p_5x^2 + ...)^2$, soit
    $...\ + \ (2p_0p_4 + p_2^2)x^2 \ + \ ...  = \ ... \ + \ 2p_1p_3x^2 \ + \ ...$
    La quantité cherchée est donc $|\ 2p_0p_4 + p_2^2 -  2p_1p_3|$.
    Voilà un autre exemple de la décomposition d'un polynôme sous la forme
    <sous-polynôme des exposants pairs> + $x$.<sous-polynôme des exposants impairs>/$x$.
    A+
    On apprend de tout sauf de ses erreurs. (Tedonxikon de Mycènes)
  • i.zitoussi
    Modifié (December 2021)
    Je pensais que ma méthode était la seule (!) et que fatalement quelqu'un donnerait les détails.
    Mais comme tout le monde a produit une manière différente:
    Soient $P(t)$, $Q(t)$ unitaires de degré $n$ ayant pour respectivement pour racines $r_1,\ldots, r_n$ et $r_1^2, \ldots, r_n^2$.
    $P(t) = (t-r_1)\cdots(t-r_n) = t^n+p_{n-1}t^{n-1} + \cdots + p_1t+p_0$.
    $Q(t) = (t-r_1^2)\cdots(t-r_n^2) = t^n+q_{n-1}t^{n-1} + \cdots + q_1t+q_0$.
    On cherche $\sigma_{n-2}(r_1^2,\dots,r_n^2)$, c'est-à-dire $(-1)^{n-2}q_2$.
    De $t^2-r_i^2 = -(t-r_i)(-t-r_i)$, on tire $Q(t^2) = (-1)^nP(t)P(-t)$.
    Par identification (et là il faut pas se gourer comme j'avais fait), $q_2$ est le coefficient de degré $4$ (et non 2) de $Q(t^2)$, par conséquent $(-1)^{n-2}q_2$ est le coefficient de degré 4 de $P(t)P(-t)$.
    Après je bloque.
  • Piteux_gore et i.zitoussi, il s'agit en fait de la même méthode.  On avait bien compris.
  • i.zitoussi
    Modifié (December 2021)
    Que dois-je entendre ? Ma réponse est superflue ?
    La formulation de Piteux_gore est plutôt floue quant au signe, donc où le problème à donner une autre rédaction?
    Après je bloque.
  • Je suis d'accord que Piteux_gore est léger sur la gestion du signe, et que sa valeur absolue est incongrue.
    Simplement, si on écrit $P(x)=Q(x^2)+xR(x^2)$ (version Piteux_gore) et $P(x)P(-x)=S(x^2)$ (version i.zitoussi), alors $S(x)=Q(x)^2-xR(x)^2$. Il reste ensuite à multiplier par $(-1)^n$ pour obtenir le polynôme unitaire dont les racines sont les carrés de celles de $P$.
    Je compte ça comme une seule méthode pour obtenir le polynôme symétrique demandé. J'en ai donné deux autres.
  • Dacodac, c'est plus clair. Merci.
    Après je bloque.
  • RE
    Effectivement, ma valeur absolue est incongrue ; j'ai fait comme si une somme de carrés était forcément positive, ce qui n'est pas le cas avec des racines imaginaires.
    A+
    On apprend de tout sauf de ses erreurs. (Tedonxikon de Mycènes)
  • Je viens à l'instant de retrouver cet exercice, quasiment mot pour mot dans la Revue de Mathématiques Spéciales d'octobre 1912 (exercice N°8656, p.15, posé à l'École Polytechnique).
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