Un exercice un tantinet original

C’est drôle. 

Bonsoir,

J'ai éliminé $z$ entre les équations $ax+by+cz=0$ et $ayz+bzx+cxy=0$ et obtenu l'équation $abx^2 + (a^2+b^2-c^2)xy + aby^2=0$.
La résolution de cette équation du second degré donne la formule donnée ci-dessus.

Cordialement,
Rescassol

Bonjour,

Oui, Dreamer, dans ce cas, il reste $ \dfrac{x}{y}=\pm i$ car $c^2=a^2+b^2$ et $\Delta=-4a^2b^2$.

Cordialement,
Rescassol

Bonjour
Il y a les coordonnées trilinéaires, et il y a les coordonnées barycentriques. Une fois traduites en barycentriques, les équations deviennent $x+y+z=0$  et $a^2yz+b^2zx+c^2xy=0$. Autrement dit, on est en train de se demander quels sont les points communs à la droite de l'infini et au cercle $ABC$. Il ne faut donc pas être surpris de voir apparaître les deux ombilics : \[ \left[ \begin {array}{c} {\it Sb}-2\,iS\\ {\it Sa} +2\,iS\\ -{c}^{2}\end {array} \right] ,
    \left[ \begin {array}{c} {\it Sb}+2\,iS\\ {\it Sa}-2\,iS\\ -{c}^{2}\end {array} \right] 
 \] Quant à l'identité remarquable \[  \left( {\frac {{\it Sb}-2\,iS}{  -{c}^{2}  }} \right)   \left( {\frac {{\it Sc}-2\,iS}{  -{a}^{2}  }} \right)  \left( {\frac {{\it Sa}-2\,iS}{  -{b}^{2} }} \right) =1 \]