Un exercice un tantinet original

Bonjour,
Sachant que $ax + by + cz = 0$ et $a/x + b/y + c/z = 0$, calculer $x/y, y/z, z/x$.
A+
In vino veritas... On ment à l'eau. (Mme Bavasky, Le Déconomicon)

Réponses

  • Bonsoir,

    Ça n'a pas l'air très simple:
    $\dfrac{x}{y}=\dfrac{-(a^2+b^2-c^2)\pm\sqrt{-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{2ab}$ et permutation circulaire.
    Ce n'est pas toujours réel.

    Cordialement,
    Rescassol

  • C’est drôle. 
    Ta formule, Rescassol, m’évoque Pythagore et Héron. 

  • YvesM
    Modifié (December 2021)
    Bonjour,
    Je divise par $a$ et par $x$ les deux équations. Je note avec majuscules les variables ainsi réduites :
    $1+BY+CZ=0, 1+B/Y+C/Z=0$
    On multiplie la seconde équation par $YZ$ et on exprime $Z$ selon $Y$ avant de reporter dans la première équation pour obtenir une équation du second degré. Et c’est fini. Mais c’est un peu long à écrire car le discriminant n’est pas forcément positif. Il faudrait aussi traiter les cas de nullité de $a,b,c.$
  • Rescassol
    Modifié (December 2021)
    Bonsoir,

    J'ai éliminé $z$ entre les équations $ax+by+cz=0$ et $ayz+bzx+cxy=0$ et obtenu l'équation $abx^2 + (a^2+b^2-c^2)xy + aby^2=0$.
    La résolution de cette équation du second degré donne la formule donnée ci-dessus.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonjour.
    Quand (a, b, c) est un triplet de Pythagore pour lequel c > b et c > a, cette équation se simplifie grandement.
    À bientôt.

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  • Rescassol
    Modifié (December 2021)
    Bonjour,

    Oui, Dreamer, dans ce cas, il reste $ \dfrac{x}{y}=\pm i$ car $c^2=a^2+b^2$ et $\Delta=-4a^2b^2$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Piteux_gore
    Modifié (December 2021)
    RE
    J'ai procédé comme Rescassol et le résultat m'a fait, moi aussi, penser à Héron.
    Quid d'une interprétation géométrique :intersection d'un plan et d'un je ne sais quoi ?
    A+
    In vino veritas... On ment à l'eau. (Mme Bavasky, Le Déconomicon)

  • pldx1
    Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Il y a les coordonnées trilinéaires, et il y a les coordonnées barycentriques. Une fois traduites en barycentriques, les équations deviennent $x+y+z=0$  et $a^2yz+b^2zx+c^2xy=0$. Autrement dit, on est en train de se demander quels sont les points communs à la droite de l'infini et au cercle $ABC$. Il ne faut donc pas être surpris de voir apparaître les deux ombilics : \[ \left[ \begin {array}{c} {\it Sb}-2\,iS\\ {\it Sa} +2\,iS\\ -{c}^{2}\end {array} \right] ,
        \left[ \begin {array}{c} {\it Sb}+2\,iS\\ {\it Sa}-2\,iS\\ -{c}^{2}\end {array} \right] 
     \] Quant à l'identité remarquable \[  \left( {\frac {{\it Sb}-2\,iS}{  -{c}^{2}  }} \right)   \left( {\frac {{\it Sc}-2\,iS}{  -{a}^{2}  }} \right)  \left( {\frac {{\it Sa}-2\,iS}{  -{b}^{2} }} \right) =1 \] 
    elle mérite, en effet, d'être remarquée : c'est elle qui permet aux ombilics de ne pas dépendre de l'ordre choisi sur les sommets du triangle de référence.
    Cordialement, Pierre.
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