Associativité produit libre

Les deux groupes $(G\star H)\star F$ et $G\star (H\star F)$ représentent des foncteurs naturellement isomorphes, ils sont donc canoniquement isomorphes.

Je ne comprends pas. Tu veux montrer l'associativité dans le groupe produit libre de deux groupes, c'est-à-dire que le produit libre est un groupe, ou tu veux démontrer l'associativité de l'opération produit libre, qui à deux groupes, associe leur produit libre.
Je répondais à la seconde question. La première est simplement (une partie de) l'existence du produit libre, tu veux refaire cette démonstration ? 

Tu peux procéder comme suit, si $G, H$ sont tes deux groupes alors tu as une application de concatenaton $\text{Mot}(G \sqcup H)\times\text{Mot}(G \sqcup H)\to \text{Mot}(G \sqcup H) $ qui est clairement associative et qui de $\text{Mot}(G \sqcup H)$ un monoïde.

Le produit libre $G\star H$ est le monoide quotient de $\text{Mot}(G \sqcup H)$ par le sous monoïde normal engendré par $g.g'.{g''}^{-1}$, $h.h'.{h''}^{-1}$, ${g''}^{-1}.g.g'$, ${h''}^{-1}.h.h'$, pour tout les triplets de $G$, $(g,g',g'')$ avec $g''=g.g'$ et pareil pour $H$, et $1_G.h.h^{-1}$, $1_H.g.g^{-1}$, $hh^{-1}.1_G$, $g.g^{-1}.1_H$ pour tout $g$ et tout $h$.

Le groupe libre est le monoïde quotient, et la structure induite, lui confère une structure de groupe. 
Maintenant il y a un fait non trivial à prouver, c'est qu'il y a une bijection du quotient avec les mots réduits de $G \sqcup H$, ça c'est un théorème.
Une fois que tu as cette bijection, le fait que la concaténation dans le groupe des mots réduits soit associative découle tu fait qu'elle est induite par celle sur le groupe qu'on vient de de définir.

Les deux membres valent $$a_1\cdots a_nb_1\cdots b_mc_1\cdots c_\ell$$