Produit libre (trivial)

Bonsoir, soit $G$ un groupe commutatif et $H=\{e\}$ le groupe d'un seul élément. On a bien que le produit libre de $G$ et $H$ donne les mots de longueur 1 formés des lettres de $G$ et que du coup ce produit libre donne un groupe commutatif n'est-ce pas? Je crois que mon prof s'est trompé ou que j'ai mal noté quelque chose... Merci.