Montrer que l'intersection est continue

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Modifié (November 2021) dans Topologie
Bonjour, soit $f:D^2\to D^2$ une application continue du disque fermé. Soit $g:\{p\in D^2\mid f(p)\neq p\}\to S^1,\: g(p)=q$ où $q$ est le point d'intersection entre $S^1$ et la demi-droite centrée en $f(p)$ passant par $p$. J'aimerais montrer que $g$ est continue.

Pour l'instant j'ai juste commencé à dire que pour $x,y\in \mathbb R^2$, le point de la droite $\overrightarrow{xy}$ qui intersecte $S^1$ doit satisfaire $\|\vec x + \lambda(\vec y-\vec x)\|=1$. Ça ne m'avance pas beaucoup, je dois pouvoir utiliser autre chose... Merci pour votre aide.

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Peut-être travailler dans $\mathbb C$ ?
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (November 2021)
    Dans $\mathbb C$, on a : $q=f(p)+\lambda (p-f(p))$, avec $\lambda \in \mathbb R_+^*$.
    Alors : $1=\left\vert q\right\vert ^{2}=(f(p)+\lambda (p-f(p))(\overline{f(p)}+\lambda (\overline{p}-\overline{f(p)})$, soit :
    $\lambda ^{2}\left\vert p-f(p)\right\vert ^{2}+\lambda g(p)+\left\vert f(p)\right\vert ^{2}-1=0$, avec $g(p)=(p-f(p))\overline{f(p)}+(\overline{p}-\overline{f(p)})f(p)$, qui est réel.
    Comme $\left\vert p-f(p)\right\vert ^2>0$ et que $\left\vert f(p)\right\vert ^{2}-1 <0$, c'est une équation du second degré dans $\mathbb R$, à l'inconnue $\lambda$, et cette équation a une seule solution positive, donnée par la formule bien connue. Cette formule donne une fonction  $p \mapsto \lambda$  continue.
    Il reste à terminer.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Code_Name
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    Merci beaucoup  :)
  • Code_Name
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    Je crois qu'en fait de manière générale, toute intersection d'une demi-droite avec une courbe dans le plan définit une fonction continue. À quoi ressemblerait l'argument général dans ce cas?
  • Poirot
    Poirot
    Ton énoncé est imprécis et n'a aucune chance d'être vrai. En général une demi-droite peut couper une courbe en un nombre arbitraire (voire infini) de points.
  • Code_Name
    Code_Name
    Par exemple dans la photo, la fonction $f$ qui associe à $p$ (dans la partie hachurée verte) l'intersection entre la demi-droite partant de $q$ passant par $p$ et le bord en bleu de la partie hachurée définit une fonction continue non? Quel est l'argument sous-jacent?
  • Chalk
    Chalk
    $f$ se calcule explicitement dans ce cas, et la continuité en découle.
  • Chalk
    Chalk
    Un énoncé qui a des chances d'être vrai :
    Soit $U$ un ouvert du plan, et $p$ un point n'appartenant pas à $U$.
    Soit une courbe $\gamma$ dans le plan et continue.
    Supposons que pour tout $q\in U$, il existe un unique point d'intersection entre $\gamma$ et la demi-droite $[p,q)$, et notons $f(q)$ ce point d'intersection.
    L'application $f$ est alors continue de $U$ dans $\R^2$.

    Et je pense que c'est probablement faux si on remplace droite par demi-droite.

    Mais je ne t'avance pas beaucoup ...
  • Code_Name
    Code_Name
    Merci pour ta réponse. J'aimerais réussir à calculer $f$ explicitement dans un cas assez simple pour voir comment faire. Si je prends le carré $[-1,1]\times [-1,1]$ et $q=(-2,0)$, comment se calcule $f$?
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (November 2021)
    Bonsoir.
    Soit m un point du contour bleu. Ta fonction f est constante sur qm (la partie dans le carré). Il suffit donc de la tester dans une autre direction, par exemple quand p varie sur le côté du carré le plus proche de q.
    Cordialement.
  • Code_Name
    Code_Name
    Bonsoir, j'ai essayé un argument qui m'a l'air un peu foireux... C'est sûrement faux  :*

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