Suite formant une partie discrète et fermée

Bonjour,
Merci beaucoup pour les pistes proposées.
Je pense avoir compris.

Pour la démonstration de la condition nécessaire (en résumé) :
Si (x_n) n'est pas majorée elle diverge (vers l'infini).
Le complémentaire de X est donc un ouvert en tant qu'union infinie d'ouverts (les intervalles ouverts ]x_i,x_i+1[).
Donc X est fermée.

Pour la démonstration de la condition suffisante, on passe par la contraposée.
Si (x_n) est majorée elle tend vers une limite l par convergence monotone.
On raisonne par l'absurde : on suppose que l appartient à X.
La définition de la convergence fait apparaître une contradiction avec le caractère discret de X.
Donc l n'appartient pas à X.
Par conséquent X n'est pas fermée.

Merci de m'indiquer une éventuelle erreur de raisonnement.

PS : il y a peut-être une solution plus simple en utilisant la propriété que toute partie non vide majorée de R admet une borne supérieure...

Merci.