application linéaire pas continue

Pilz0 · December 2005

Bonjour,

Connaissez vous une application linéaire non continue entre 2 espaces de Banach.

Merci

oumpapah2 · December 2005

Bonjour

pourquoi pas simplement une forme linéaire non continue , ça court les rues!

Oump.

curieux0 · December 2005

tu prends l'application qui a une fonction associe sa dérivée.

LIAUTARD1 · December 2005

Bonjour

Pour curieux quel est l'espace de Banach ou la fonction est prise .

A mon avis la réponse n'est pas évidente on peut montrer l'existence de formes linéaires non continues avec l'axiome du choix mais celles construites par les procédés courants sont continues.

Cordialement

bosio frederic0 · December 2005

Une de mes profs nous a un jour dit qu'il etait impossible de donner une application lineaire non continue "explicite" (sans preciser ce que voulait dire exactement ce terme) entre deux Banach. Il me semble en tout cas que l'axiome du choix n'est pas necessaire pour prouver l'existence de telles applications (a moins que je me trompe), donc je ne sais pas ce que signifiait exactement son affirmation.

Probaloser · December 2005

Ne suffit-il pas de se donner une base de vecteur de norme $1$, d'en prendre une partie dénombrable $u_1,...u_n,...$ et de définir une forme $\phi$ par exemple par $\phi(u_k)=k$ etc... ?

LIAUTARD1 · December 2005

Bonjour

La solution est valable ,l'axiome du choix est intervenu pour assurer

l'existence d'une base algébrique.

Cordialement

corentin0 · December 2005

Pour relancer ce sujet qui m'intéresse pas mal, je me pose quelques questions un peu plus pratiques:
si on se place dans $l^1$, on considère une forme linéaire qui est définie sur $l^1$, est elle forcément continue?
La réponse a priori est qu'une forme linéaire n'est pas forcément continue, mais j'ai beau y réfléchir, je ne peux pas me représenter de forme linéaire pas continue sur cet espace!
En effet, si on a $f(e_i)=\alpha_i$, je ne vois pas comment la famille $\alpha_i$ pourrait être non bornée.
Ca me fait d'ailleurs penser à un truc que j'ai lu une fois:
si $\sum |a_i|

bryce · December 2005

Je reprends l'idée de probaloser pour $l_1$...
Corentin, tu ne vois comment $\alpha_i$ pourrait être non bornée car tu imagines qu'on doit avoir $f(a) = \sum a_i \alpha_i$ alors que ça n'est pas forcément le cas, (pour écrire ça tu utilises un passage à la limite interdit si $f$ non continue!)

Posons $F=\textrm{Vect}(e_i)$ (suites presque nulles) et soit $G$ un supplémentaire de $F$ (on utilise -forcément?- l'axiome du choix ici).

On définit la forme linéaire $f$ par $f=0$ sur $G$ et sur $F$ : $f(e_i)=i$. $f$ n'est pas continue...

GLaG · December 2005

Corentin : pour une série à termes positifs convergente $\sum a_n$, la série $\sum \dfrac{a_n}{\sqrt{R_n}}$ converge (et bien sûr $R_n=a_n+a_{n+1}+\ldots$ tend vers 0).

corentin0 · December 2005

Merci à Bryce et Glag.

Toto.le.zero · December 2005

Tu considère l'ensemble des fonctions C1 sur [0,1] muni de la norme uniforme (qui est un Banach) et tu considère l'application :

$F : f\rightarrow f'(1) $

Et tu regardes ce qu'il se passe pour la suite de fonctions:

$f_n(x)= x^n$

Magie!

P.S: Nous ne voyons pas d'autre explication.

no2 · December 2005

à toto : ZERO ! Jamais c'est un Banach ton machin !

oumpapah2 · December 2005

Bonjour,

pour corentin

exo dual:

si la serie à termes positifs de terme général a(n) diverge , il existe une suite positive de terme général b(n) convergent vers 0 et telle que la serie de terme général b(n)a(n) soit divergente.

( plusieurs demo possibles , la plus expeditive : prendre b(n)=1/A(n) avec
A(n)= a(0)..+a(n) )

Oump.

corentin0 · December 2005

Merci Oump, mais je connaissais déja cet exo, c'est l'une des nombreuses planches sur lesquelles je m'étais cassé la tête pendant mes révisions pour les concours. J'apprécie tout de même de revoir ça avec un peu plus de recul.

application linéaire pas continue

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