Clarification variétés/schémas affines

C'est juste qu'il y a une théorie des variétés qui prédate celle des schémas.
Si tu prends $k[x_1,...,x_n]$ avec $k$ algébriquement clos par exemple, les idéaux maximaux sont tous de la forme $(x_1-a_1,..., x_n-a_n)$ pour un uplet de points $(a_1,...,a_n)\in k^n$, de sorte que les points du spectre maximal sont exactement $k^n$. Du coup historiquement ça a semblé raisonnable de prendre les maximaux.

Le spectre premier contient plus d'infos, par exemple l'idéal premier $(0)$, ou encore $(x_1)$. L'approche "schématique" est de les prendre en compte, pour prendre en compte "toutes les extensions possibles" - prendre en compte tous les morphismes vers des corps, pas uniquement ceux qui sont surjectifs.

Par exemple, si tu regardes les variétés $GL_n\subset M_n$, elles ne sont parfois pas denses (par exemple sur un corps fini), alors qu'on aime bien les arguments "vrai pour les inversibles, donc par densité, partout". Si tu passes aux schémas, là c'est tout le temps dense !
Alors certes c'est un exemple simpliste, mais si l'histoire nous a bien appris une chose, c'est que les géomètres algébristes ont été convaincu par le formalisme schématique plus que par les variétés, donc il doit y avoir un vrai gain. Pour le comprendre il faudrait passer du temps à étudier les deux (en sachant pertinemment que l'un est moins bien - donc je ne sais pas si c'est motivant :-D )

Il pourra surtout t'aider si tu cherches à tuer le tempsB-)

On ne prend pas du tout le même point de vue quand on considère une variété affine $V\subset k^n$, avec $k$ algébriquement clos (disons) et un schéma affine $S={\rm Spec}(A)$. Les points de $V$ sont des $n$-uplets $(a_1 ,...,a_n )\in k^n$ qui sont en correspondance bijective avec les idéaux maximaux de $k[X_1 ,...,X_n]/I$, où $I$ est l'idéal des polynômes qui s'annulent sur $V$. Les éléments de $S$ sont les idéaux premiers de $A$. Je dis volontairement "éléments" et pas "points" de $S$ parce que géométriquement ça n'est pas le bon point de vue. Les morphismes d'anneaux $A\rightarrow B$, i.e. les morphismes de schémas ${\rm Spec}(B)\rightarrow {\rm Spec}(A)$ correspondent géométriquement aux "$B$-points" du schéma ${\rm Spec}(A)$.

Dans le point de vue "classique" des variétés affines, on privilégie l'ensemble géométrique, tandis que dans le point de vue des schémas la donnée première est la donnée des équations (i.e. l'idéal $I$, via le quotient $k[X_1 ,...,X_n ]/I$).

Je pense qu'on te le dit souvent, mais Wikipédia n'est à mon avis pas un outil adapté pour apprendre les choses de ce niveau, ou même juste pour s'en faire une idée claire.

Le "est" de "une variété est un schéma affine tel que..." est, selon les définitions prise, un mensonge. Comme tu l'as dit, ce n'est parfois pas le même spectre. Ce qu'il y a en réalité ce sont des équivalences de catégories, que les auteurs traduisent par des slogans du type "truc est machin" pour exprimer que via cette équivalence, on ne perd rien.


Un résultat crucial est que les variétés algébriques affine sur un corps $k$, muni des morphismes de variétés, forment une catégorie équivalente à l'opposée de la catégorie des $k$-algèbres réduites de type fini (et intègres si on ne considère que les variétés irréductibles, ça dépend des auteurs).

Un autre résultat, c'est que les schémas affine sont équivalents (via le foncteur $\mathrm{Spec}$) à l'opposée de la catégorie de tous les anneaux (commutatifs unitaires). En particulier les schémas sur $\mathrm{Spec}(k)$ sont équivalents aux $k$-algèbres et donc les $k$-schémas affines réduits de type fini (qui, peu importe les définitions, sont là pour correspondre à l'opposé des $k$-algèbres de la sorte) vont aussi être équivalents aux $k$-algèbres réduites de type fini, donc aux variétés affines.

Si on déroule ce qui se passe dans ces équivalences: pour une variété affine $V$, d'anneau $k[V]$, le schéma associé est $\mathrm{Spec}(k[V])$ et dans l'autre sens, pour un $k$-schéma affine réduit de type fini $X$, d'anneau $A$, on prend la variété associée à $A$ (selon ta définition de variété, ça peut être le spectre maximal de $A$, ça peut aussi être de prendre un isomorphisme $A \simeq k[X_1,\ldots,X_n]/I$ et de prendre la variété $V(I)$ dans $\mathbb{A}^{n}$).

Le contenu des théorèmes est alors que tout ça ne perd aucune information. Plus précisément, pour un anneau du type $k$-algèbre réduite de type fini, le spectre maximal (avec sa topologie de Zariski) permet en fait de retrouver tout le spectre premier (lui aussi avec sa topologie). C'est une conséquence du Nullstellensatz, dont une forme dit qu'un idéal radical d'une $k$-algèbre de type fini (et donc, par exemple, un idéal premier) est entièrement déterminé par les idéaux maximaux qui le contiennent (théorème 4 de https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_zéros_de_Hilbert).


PS: Pour ta question sur la différence entre quotienter par un idéal ou quotienter par son radical, oui, il y a une grosse différence: le quotient d'un anneau par un idéal radical est toujours un anneau réduit, c'est-à-dire sans nilpotents.

Tu peux prendre l'exemple de $A = k[X]/(X^2)$: la classe $\bar{X}$ de $X$ y est un nilpotent, alors que $B = k[X]/(X)$ n'a pas de nilpotents. Mieux encore, l'idéal $(\bar{X})$ de $A$ est le nilradical de $A$, et $A/(\bar{X}) \simeq B$: quotienter par le radical de $(X^2)$ plutôt que par $(X^2)$ lui-même revient exactement à "tuer" les nilpotents dans le quotient $A$.

Attention, les quotients de $k[X_1, \dots, X_n]$ ne sont pas tous réduits, ce sont précisément ses quotients par des idéaux radicaux qui le sont. L'exemple de $k[X]/(X^2)$ cité ci-dessus te donne un contre-exemple.