Intégrales : précision.

clotho · December 2005

Bonjour,

C'est à propos d'un encadrement d'une fonction définie par une intégrale. Il s'agit de $f(x)=\int_{x}^{x^2}\frac{e^{-t^2}}{t}dt$ pour $x>0$.

Et il me faut trouver la limite de cette fonction en 0. Je vous passe les détails pour arriver à l'encadrement suivant en supposant $x

Patrick7 · December 2005

Et si tu calculais les intégrales "encadrantes" .....
Patrick

clotho · December 2005

Salut Patrick,

Ce calcul qui n'est pas sorcier ne change pas mon léger soucis pour arriver à l'encadrement...y-a quelque chose que je ne vois pas ou plus par manque de pratique de ce genre d'encadrement.

jp8 · December 2005

$\int_a^b = -\int_b^a$,
donc lorsque tu échanges les bornes des intégrales, les inégalités ne changent pas de sens.
Puis tu multiplies pas $-1$ toute la ligne et c'est terminé...
Sauf erreur.

clotho · December 2005

Oups, quelle erreur de ma part.

C'exact JP, je ne sais pas pourquoi j'ai changé de sens mon inégalité en échangeant mes bornes d'intégration. C'est pour cela que je ne retombais sur mes pattes. Je comprenais pas trop ce qui n'allait pas.

Merci pour la correction,
Cordialement

Totol · December 2005

Onconsidère la fonction $g$ définie par
$$g(t)\frac{e^{-t^2}}{t}$$
Au voisinage de 0, on a
$$g(t)=\frac 1t\left( 1-t^2+o(t^2)\right)=\frac 1t-t-o(t)$$
$$\forall x>0,\quad \int_x^{x^2}\frac{dt}t=\ln x^2-\ln x=\ln 2.$$
L'application $t\mapsto -t+o(t)$ est bornée au voisinage de 0.
Donc,
$$\lim_{x\rightarrow 0}\int_x^{x^2}-t+o(t)dt=0.$$
La limite recherchée est ainsi $\ln 2.$

oumpapah2 · December 2005

Bonjour

ln(x²)-ln(x)= ln2 ????

pour clotho je pense qu'en fait on te demande un equivalent au V(0)

à moins qu'il s'agisse d'une erreur d'enoncé et qu' on considere comme bornes de l'integrale x et 2x et non pas x et x²..

ou à moins qu'on demande une etude au V(+oo)..

Oump.

clotho · December 2005

Bonjour Oump,

Non, il ne s'agit pas d'une erreur d'énoncé, les bornes d'intégration sont bien $x$ et$x^2$. En fait c'est un exercice d'analyse d'étude d'une fonction définie par une intégrale utilisant uniquement des connaissances de Terminale C de mon époque. Mais c'est un exo sans indications et déjà bien "costaud"...enfin, je trouve. Histoire de consolider ses bases.

Cordialement,
Clotho

oumpapah2 · December 2005

Re

disons que tu t'interesses à la fonction obtenue par integration entre x et x² de f(t)/t avec disons f de classe que tu veux ,sur R

essayes tout seul de l'etudier , en prenant d'abord des ex de f " simples"

( def, etude aux bornes ? sens de variations ? etc.)

et ça te fera bien bosser

tu peux aussi prendre comme bornes x et 2x

Oump.

Intégrales : précision.

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