Exo de 2nde *

Je ne sais pas ce qu'est la seconde étoile, mais l'exercice n'est pas évident !

Soit $n \in \N^{*}$ tel que $24 \mid (n+1)$. Il n'existe pas d'entier $x$ tel que $24 \mid (x^2+1)$ (car, sinon, on aurait $3 \mid (x^2+1)$ ce qui est faux). Ainsi, puisque $24 \mid (n+1)$, on en déduit qu'il n'existe pas d'entier $x$ tel que $n = x^2$, ce qui implique que le nombre de diviseurs de $n$ est impair : si on les note $1 = d_1 < d_2 < ... < d_k = n$, alors on peut les regrouper par paires $(d_i,d_j)$ de sorte que $d_id_j = n$. Par hypothèse sur $n$, on a donc $24 \mid (1 + d_id_j)$.

Il reste à montrer le résultat suivant : si $24 \mid (1+ab)$, alors $24 \mid (a+b)$. En effet, ce résultat acquis, on a, si $\sigma(n)$ est la somme des diviseurs de $n$ : $$\sigma(n) = (d_1 + d_n) + (d_2 + d_{n-1}) + ...$$ et chaque parenthèse est un multiple de $24$.

{\bf Remarques}.

1. Je me suis interdit d'écrire avec des congruences, mais cela aurait été plus lisible.

2. Je ne sais pas ce que c'est que la seconde étoile, mais l'exercice me semble être au-dessus du niveau des élèves de lycée. Je n'oserais pas donner cet exercice à mes élèves de terminale spé sans indication, à moins que quelqu'un ne trouve une solution plus élégante.

Borde.

Une manière de voir cette proposition : puisque $24 \mid (1+ab)$, alors cela implique que $24 \mid (a^2-1)$ et on peut conclure en remarquant que $1+ab \pm a \pm b = (a \pm 1)(b \pm 1)$.

Maintenant, je persiste (et signe) sur ce que j'ai dit plus haut : cela fait quand même ... années (auto-modération) que j'enseigne en lycée, et, du point de vue du bac, cet exercice est hors-pgme si l'on ne fournit pas d'indication.

A moins (bis) que quelqu'un ne trouve une autre solution qui m'aurait échappée, ce qui serait intéressant, car je n'ai pas le monopole de la solution la plus efficace.

Borde (correction effectuée).

J'ai bien une solution, mais elle repose sur le second degré, je ne sais pas si tu connais, Alice.

Soit d1 et d2 deux diviseurs de n tels que d1×d2=n.

Posons S=d1+d2
P=d1×d2=n

Alors d1 et d2 sont solutions de X^2-SX+P=0.

Posons S=24a+a'
P=24b-1

X=24c+c'
avec a' et c' restes de la division par 24.

On a X^2-(24a+a')+24b-1=0

X est diviseur de n et premier avec 24.
Donc X=24c+c', avec 0<c'<24.

X^2=24q+q', avec q' reste de c'^2 dans la division par 24.

Les valeurs possibles de q' sont:
1,4,9,16,12,0.


On aboutit ainsi à q'-a'-1=0 (car 24 divise 0)
soit q'=1+a'

La seule solution est q'=1 car X, donc X^2, est premier avec 24.
Donc a'=0.

Donc S=24a, soit 24 divise (d1+d2), ce qui résoud le problème.

Qu'en penses-tu, Borde ?

Pour Sylvain,

Tu as dû oublier un $X$ en ligne 10, non ? D'autre part, ta ligne 12 n'est que la redite de la ligne 8, il me semble. Il faudrait peut-être plus préciser le rôle exact de $X$ dans ton équation et l'obtention des $q'$ possibles. Sinon, la voie d'attaque me paraît être intéressante.

Borde.

Pour Mikael : ce n'était pas une démonstration au sens propre du terme, mais une manière de voir (ce que j'ai dit plus haut)...Pour l'agreg, on fait comme cela : les éléments inversibles de $\Z / 24 \Z$ sont $\pm \overline {1}, \pm \overline {3}, \pm \overline {7}, \pm \overline {11}$, tous de carré $\overline {1}$. Comme $ab \equiv -1 \pmod {24}$, $a$ est inversible dans cet anneau, et donc $a^2 \equiv 1 \pmod {24}$.

Borde.

Oui Borde j'ai oublié le X. La ligne 12 n'est pas totalement une redite car je précise que c' ne peut valoir 0 ou 24, ce que je n'avais pas fait en ligne 8. Mais c'est vrai que la rédaction laisse à désirer. Je m'en excuse.

Alors vite fait:

on a X^2-(24a+a')(24c+c')+24b-1=0

soit q'-a'c'-1=0

q'=1+h' où h' est le reste de a'c' dans la division par 24.

q'=1 donc h'=0. Si a'=0 c'est bon, sinon cela veut dire que a'c'=24m. Or c' est premier avec 24 donc nécessairement 24 divise a'. Donc a'=0.

C'est bon cette fois ?

Quels sont les éléments qui te semblent compliqués Alice ? N'hésite pas à me le dire, ce sera profitable pour nous deux.

excuse moi borde $ 11^2 = 121 $ c'est bien de carre 1 j'ai dit une betise

Bonsoir,

Pour mikael : $11^{2}=121=5\times 24+1$, donc, $11^{2}$ est bien congru à $1$ modulo $24$.

Amicalement.
Olivier.

Pour Mikaël : tu avais néanmoins raison au début, ma manière de présenter les choses n'est pas, en un certain sens, très satisfaisante, puisque l'implication $24 \mid (a^2 - 1)$ $\Longrightarrow$ $24 \mid (a + 1)$ ou $24 \mid (a-1)$ est fausse, bien évidemment. Il faudrait corriger en utilisant plutôt l'identité $a(a+b) = ab+1 + a^2 - 1$, et donc, si $24 \mid (ab +1)$ et $24 \mid (a^2 - 1)$, alors $24 \nmid a$ et $24 \mid a(a+b)$, ce qui implique que $24 \mid (a + b)$.

Pour Sylvain : l'idée est bonne, et ce quels que soient le petits détails ci-dessus. En explicitant un peu plus les rôles de tes variables "primes", cela pourrait consituer une alternative intéressante par rapport à ce que j'ai fait.

Cei étant, je trouve la solution exposée tout en haut assez peu satisfaisante, car :

1. Elle dépend de la proposition $24 \mid (1 + ab) \Longrightarrow 24 \mid (a+b)$ pas triviale du tout (c'est un euphémisme). Rappelons-nous que nous aidons une élève de seconde, même la meilleure de son établissement...

2. Elle dépend d'autres résultats difficiles à imaginer à ce niveau ($-1$ n'est pas un carré modulo $3$, $\tau(n)$ est impair si et seulement si $n$ est un carré parfait).

Ainsi, pédagogiquement, cette méthode laisse à désirer. Il doit y en avoir une plus simple, à déterminer.

Borde.

Je n'arrive pas à suivre une solution parfaite, il me semble que tout est mélangé un peu.

bonjour,

je pose le même problème avec q (au lieu de 24 ...)

j'écris
$(1+a)(1+b)=1+ab +(a+b)$
si (1) $q \mid (1+a)(1+b)$ alors on a :


&quotsi $q\mid (1+ab) \implies q\mid (a+b)$ "

on se ramène à démontrer (1)

$q\mid (n+1) \implies $ n impair donc a et b impair donc $4\mid (1+a)(1+b)$

de même on se rend compte que $3\mid(n+1)$ entraine n est de la forme $3n+2$ or il n'y a que deux types de non divisible par 3:
$u=3n+2$, et $v=3n+1$
u*v conduit à u, u*u conduit à v, et v*v conduit à v. donc la seule solution est u*v, donc a ou b est de la forme u donc a ou b +1 est multiple de 3. donc on a $3\mid(n+1)$

j'ai donc la divisibilité par 12, c'est pas encore 24, mais on s'en approche
(peut-être en discutant de -1 comme carré modulo 6 ? )

Cordialement

allez j'essaie au propre sur le lemme seulement
soit a et b deux diviseur positifs de n, tels que $n=ab$
démontrons : $24\mid(1+ab) \implies 24\mid(a+b)$

supposons $24\mid(1+ab)$
donc $4\mid(1+ab)$
posons $u_i=4m+i$
donc $n=4*m-1=4(m-1)+3$ est de la forme $u_3$
donc 4 ne divise ni a ni b
or on peut écrire dans un tableau le résultat du produit de tous les nombres qui ne sont pas divisible pas 4.
i/j 1 2 3
1 1 2 3
2 2 0 2
3 3 2 1

(je ne reporte que les indices des $u_i$)
donc n qui est de la forme $u_3$ est qui est le produit de deux nombres non divisible par 4, on a forcément:
$n=u_3*u_1$
or $(u_3+1)=4*m+3+1=4(m+1)$
$(u_1+1)=4*m+1+1=2(2m+1)$

donc $8\mid (u_3+1)*(u_1+1)$ ie
(1) $8\mid(a+1)(b+1)$

idem pour 3:
posons $v_i=3*m+i$.
les nombres non divisible par 3 sont $v_1,v_2$.
or $24\mid(n+1)\implies 3\mid(n+1)\implies n=v_2$.

or la table des multiplications des v_i donne
i/j 1 2
1 1 2
2 2 1

donc $n=v_1*v_2$
or $3\mid (v_2 +1)$ donc :
$3\mid (v_1+1)*(v_2+1)$ c'est à dire
(2) $3\mid (a+1)(b+1)$


remarquons par hasard que :
$(a+1)*(b+1)= 1+ab+(a+b)$
or on sait (2)que $8\mid (a+1)*(b+1)$ et $8\mid (1+ab)$
or on sait (2)que $3\mid (a+1)*(b+1)$ et $3\mid (1+ab)$
donc $24\mid (a+b)$


bon... ya mieux c'est sur (je sais pas rédiger)

Bonjour,

si je suis trop hors-sujet vous pouvez me modérer sans hésiter, mais
j'aimerai bien savoir ou se trouve ton lycée et s'il en existe d'autres en France possédant ce type de classes?

Je suis extrêmement surpris par cela, et cela ne me parrait pas être une mauvaise chose...

$\overline {a}$ n'est pas un diviseur de zéro dans $\Z / 24 \Z$. Pour la seconde partie de ta question, remarque que $24 \nmid a$.

Borde.

Bonjour,
Je ne suis pas très calé en maths, mais j'ai trouvé l'exo et les démos intéressantes.
Si on regarde les premières solutions possibles, il semble que n doive être un multiple de 5.
n+1 = 24k marche pour k = 4,9,14,19 et je suppose que ça continue.
Dans ce cas, n = 5q avec q = 19,43,67,91 et je suppose que ça continue.
Est ce qu'on peut démontrer que pq+1 = 24k implique que p=5 ?
Si oui, on arrive facilement à p+q=24(k+1)/5.
Si non, tant pis.

Pour SF, l'implication $ab \equiv -1 \pmod {24} \Longrightarrow a = 5$ est fausse. Lire à ce sujet les posts plus hauts. La seule chose que l'on puisse dire sur $a$, c'est que $\overline {a}$ est inversible dans $\Z / 24 \Z$.

Pour Mikaël : je n'ai (personnellement) pas trouvé d'autres solutions, mais cela fait un moment que je n'ai plus cherché. J'attends qu'Alice nous donne la solution qu'elle nous a promis.

Plus généralement, je voudrais rajouter que ce nombre $24$ m'intrigue : j'ai donc consulté le livre de {\bf Le Lyonnais}, {\it Les Nombres Remarquables}, mais il n'apporte rien de plus que ce que je savais. Résumons :

1. Les inversibles de cet anneau sont tous d'ordre $2$, c'est ce qui fait marcher la machine ici.

2. Les diviseurs $d$ positifs sont les entiers tels que, pour tout $a,b$, on ait $ab \equiv -1 \pmod {d} \Longrightarrow a \equiv b \pmod {d}$.

3. Pour les spécialistes, {\it tous} les caractères de Dirichlet modulo $q$ sont ${\bf réels} $\Longleftrightarrow$ $q \mid 24$.

Si vous connaissez d'autres "propriétés" de ce nombre, je serais heureux d'en voir la teneur.

Borde (correction effectuée).

Bonjour,

Apparemment, l'énoncé correct est le suivant:

soit un entier naturel n. Montrer que si 24 divise n+1 alors 24 divise d+n/d, où d est un diviseur quelconque de n.

exemples:

n=3*24-1=71 et d=1. On a bien 71+1:=3*24

ou n=12*24-1=287=7*41, avec 7+41=2*24

ou encore n=194*24-1=4655=5*7*7*19
alors:
5*7*7+19=264=12*24
5*7*19+7=672=28*24
5*7+7*19=168=7*24
7*7*19+5=936=39*24
etc

Le problème est donc:
soit d et x appartenant à N*, tels que d*x+1 soit multiple de 24, alors d+x est multiple de 24.

........... si j'ai bien tout compris

Pierre

Effectivement, Borde,
c'est ce que tu disais dès ta première intervention! Ca m'apprendra à lire en diagonale...

En tout cas, pour un niveau Seconde, chapeau. On attend avec impatience la correction d'Alice.

Pierre

Salut Sylvain,
<BR>
<BR>J'ai répondu a ton mel...
<BR>
<BR>Pour Pierre : quelque chose m'a peut-être échappé, mais je continue de prétendre que ce <I>n'est pas</I> du niveau seconde. J'ai même rédigé il y a une semaine une version de cet exercice pour les terminale S spé, mais cela n'est pas encore satisfaisant. Non, rigoureusement, je dirais un bon exo prépas.
<BR>
<BR>A bientôt,
<BR>
<BR>Borde.<BR>