Deux hypothèses

Sneg
Sneg
dans Fondements et Logique
Bonjour,

Voici ma question :

Hypothèse A $\Longrightarrow$ Hypothèse B $\Longrightarrow$ Contradiction.

Dans ce cas, peut-on savoir à quelle hypothèse imputer la contradiction ?
En d’autres mots, peut-on savoir quelle hypothèse est fausse ? A ? B ? A et B ? A ou B ?

On pourrait éventuellement remplacer le mot Hypothèse par le mot Affirmation.

Réponses

  • Médiat
    Médiat
    Si je comprends bien, vous $ A \Rightarrow B$ est faux, donc $\neg (A\Rightarrow B)$ est vraie, c'est à dire $A \wedge \neg B$ est vraie
  • Math Coss
    Math Coss
    Note pour commencer que l'absence de parenthésage est ambiguë : l'implication n'est pas une abréviation de « donc » et $P\implies (Q\implies R)$ et $(P\implies Q)\implies R$ ne sont pas synonymes.

    Cela dit, $P\implies(Q\implies R)$ doit être synonyme de $(P\text{ et }Q)\implies R$.
  • Sneg
    Sneg
    Bonjour, Médiat et Math Coss,
    Merci pour vos réponses.

    Je rectifie ma notation :
    « Si (A implique B) et (B implique C), alors A implique C » semble être un théorème.

    Supposons que C soit une « contradiction ».
    Puis-je conclure du théorème que A implique une contradiction, et donc que A est faux ?
  • Poirot
    Poirot
    Pourquoi introduire inutilement ce $B$ ? Tu dis que $A \Rightarrow C$ est vraie et $C$ est fausse. En regardant la table de vérité de l'implication, on en déduit que $A$ est fausse.
  • Foys
    Foys
    Sneg a écrit:
    Voici ma question :

    Hypothèse A $\Rightarrow$ Hypothèse B $\Rightarrow$ Contradiction.

    Dans ce cas, peut-on savoir à quelle hypothèse imputer la contradiction ?
    En d’autres mots, peut-on savoir quelle hypothèse est fausse ? A ? B ? A et B ? A ou B ?
    Les 3 cas se produisent. Sans autre précision on ne sait pas.

    Considérons les énoncés $A:= x=y$, $B:= x=z$ et $C:=y=z$

    Les règles de manipulation de l'égalité entraînent que $A \Rightarrow (B \Rightarrow C)$, autrement dit $x=y \Rightarrow (x=z \Rightarrow y = z)$ qui est une tautologie du calcul des prédicats avec égalité.
    Maintenant regardons ce qui se passe quand $x,y,z$ désignent des nombres entiers.

    (i) si $x=1,y=1,z=2$ alors $A$ est vraie, $B$ ("$1=2$") est fausse et $C$ est fausse.
    (ii) si $x=1$, $y=2$ et $z=1$ alors $A$ est fausse, $B$ est vraie et $C$ est fausse.
    (iii) si $x=1$, $y=2$ et $z=3$ alors $A,B$ et $C$ sont fausses.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Sneg
    Sneg
    Bonjour, Poirot.
    J’introduis ce B parce que j’ai l’impression que je ne peux pas faire autrement. :-)

    Voici ma façon de démontrer que A est faux dans :
    Si A implique B et B implique C, alors A implique C
    quand C est une « contradiction ».

    1) « B implique une contradiction » entraîne que B est faux.

    2) « A implique B » est équivalent à « B(faux) implique A(faux) ».

    3) Comme B est faux (voir le point 1), cela implique que A est faux également (voir le point 2).

    C’est juste ?

    Ajout : Pardon, Foys, je n’avais pas vu ton message que je vais lire.
  • Sneg
    Sneg
    Bonjour,

    Voici une question différente des précédentes.

    Soit :
    B n’est possible que si A est possible.
    B n’est pas possible.
    Donc ?...

    Je ne connais pas la réponse, mais j’ai envie de dire : « Donc, A n’est pas possible », sur base de :
    B ssi A
    entraîne
    Non(B) implique Non(A). (Contraposée de A implique B.)

    C’est juste ? Merci d’avance.
  • JLapin
    JLapin
    Ce que tu supposes semble être
    $non(A)\implies non(B)$
    ou encore
    $B\implies A$.

    Tu ne peux donc rien savoir sur la valeur de vérité de A lorsque B est une propriété fausse.
  • Sneg
    Sneg
    Merci, JLapin !

    Pour m’aider à comprendre ta réponse, je décortique mon problème :

    Comment écrire en langage logique : « B n’est possible que si A est possible » ?

    Merci.
  • Médiat
    Médiat
    La "possibilité" est une notion de certaines logiques modales, comme la logique aléthique, est-ce cela dont vous parlez ?

    Sinon en logique classique, on ne parle que de "vrai" ou "faux"
  • Sneg
    Sneg
    Bonjour, Médiat,

    Ok, je reformule ma question :

    Comment écrire en langage logique « B n’est vrai que si A est vrai » ?

    Merci.
  • Foys
    Foys
    Sneg a écrit:
    Comment écrire en langage logique « B n’est vrai que si A est vrai » ?
    Ca peut être (suivant ton intention):
    "$B \Rightarrow A$" si tu veux dire que lorsque $A$ est faux, $B$ est forcément faux (édité, cf message de JLapin plus bas!).
    "$A \Leftrightarrow B$" si tu veux dire que lorsque $B$ est faux, $A$ est forcément faux mais aussi, si $B$ est vrai alors $A$ est forcément vrai.

    Regarde les tables de vérité comme cela a été suggéré ci-dessus.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • JLapin
    JLapin
    Sneg a écrit:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2306060,2307250#msg-2307250
    Comment écrire en langage logique « B n’est vrai que si A est vrai » ?

    $B\implies A$.
  • Sneg
    Sneg
    Merci, Foys et JLapin, c’est très gentil.
  • Sneg
    Sneg
    Bonjour, c’est à nouveau moi.

    Voici mon problème de logique :

    Considérons comme vraie la proposition P suivante :
    « La possibilité de boire repose sur la possibilité d’ouvrir la bouche »,
    qui me semble être équivalente à
    « La possibilité de boire suppose la possibilité d’ouvrir la bouche ».
    (On suppose vivre dans un monde où les sondes nasales ou autres techniques médicales de substitution n’existent pas.)

    Si A = « Pouvoir boire »
    et
    Si B = « Pouvoir ouvrir la bouche »

    alors, comment traduire en langage logique la proposition P ?

    Un autre exemple, peut-être plus clair.
    En médecine gynécologique, une femme qui accouche suppose la fécondation préalable d’un ovule.
    Comment traduire cela en langage logique ?
    « fécondation » implique « accouchement » ? (Pas forcément vrai.)
    « accouchement » implique « fécondation » ? (Me paraît juste.)
    Merci d’avance.

    Merci d’avance.
  • Foys
    Foys
    Sneg: remplis le tableau suivant, ensuite reconnais la table de vérité d'un certain connecteur logique (ou d'une combinaison de ceux-ci) dans la colonne de droite: ce sera la formule logique cherchée.

    A:="il est possible de boire "
    B:= "il est possible de respirer par la bouche"
    C :="la possibilité de boire repose sur la possibilité d'ouvrir la bouche"
    A | B | C
    V | V | ?
    F | V | ?
    V | F | ?
    F | F | ?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Foys
    Pour l'histoire d'accouchement, c'est pareil.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Sneg
    Sneg
    Foys,

    Je ne suis pas sûre de pouvoir répondre à ta question, mais en, observant ta méthode, je crois pouvoir dire que la réponse à ma question est : « (pouvoir) boire » implique « (pouvoir) ouvrir la bouche », car « ne pas (pouvoir) boire et (pouvoir) ouvrir la bouche » peut être considéré comme vrai, si c’est pour respirer.
  • Foys
    Foys
    Oui.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Sneg
    Sneg
    Bonjour,

    Pardonnez-moi d’insister un peu lourdement sur quelque chose d’apparemment simple.

    Imaginons qu’un jour, après une malencontreuse chute sur le poignet, Léonard de Vinci ait dit à Mona Lisa :

    « Si je peux utiliser ma main, alors je peux faire votre portrait. Mais si je ne peux pas utiliser ma main, alors je ne peux pas faire votre portrait. »

    Je traduis cela logiquement par :

    « Léonard de Vinci peut utiliser sa main ssi Léonard de Vinci peut faire le portrait de Mona Lisa. »

    Est-ce juste ?

    Merci d’avance.
  • Médiat
    Médiat
    Oui.

    Si vous voulez explorer un peu la manipulation de l'implication regarder la phrase :
    Je peux ce que je ne veux, je veux ce que je ne peux, double peine

    Est-ce vraiment une double peine ?
  • Sneg
    Sneg
    Merci, Médiat.

    En réponse à votre question, je dirai qu’on est dans le cas du « ou » exclusif : XOR.
    Oui ?
  • Médiat
    Médiat
    Non, pas dut tout.
    Indice : traduisez en langage formel
  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    Bonjour,

    Ou sinon, imagine un dessin de patates. L'ensemble de ce que je veux et l'ensemble de ce que je peux.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français