Unités et idempotents dans le centre
dans Algèbre
Bonjour
Un exemple d'un exercice facile à formuler, mais difficile à prouver (en tout cas, moi je n'ai pas réussi).
Soit A un anneau avec 1.
Prouver que si toutes les unités de A sont dans le centre de A, alors tous les idempotents de A sont aussi dans le centre de A.
Cordialement, Michiel.
Un exemple d'un exercice facile à formuler, mais difficile à prouver (en tout cas, moi je n'ai pas réussi).
Soit A un anneau avec 1.
Prouver que si toutes les unités de A sont dans le centre de A, alors tous les idempotents de A sont aussi dans le centre de A.
Cordialement, Michiel.
Réponses
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Je n'y ai pas beaucoup réfléchi mais déjà une remarque :
Soit $e$ un idempotent. Alors $2e-1$ est inversible puisque $(2e-1)^2 = 4e^2 - 4e +1 = 1$.
En particulier, il est central, de sorte que $2e$ est central. Pas sûr pour $e$ lui-même -
Effectivement. Mais $e$ ?
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Soit $x$ un nilpotent. Alors $x$ est central car $1+x$ est inversible.
Soit $e$ un idempotent et $a\in A$. Alors $ea(1-e)$ est nilpotent, donc il est central.
En particulier, $ea(1-e) = eea(1-e) =ea(1-e)e = 0$. Donc $ea = eae$.
De même $ae = eae$ et donc $ea = ae$.
(Depuis le début je cherchais un nilpotenr qui ne dépende que de $e$ !) -
Bonjour Maxtimax,
Une question: pourquoi ea(1-e) est nilpotent?
Merci, Michiel -
Je peux répondre pour lui : son carré vaut évidemment $0$.
Le raisonnement de Maxtimax est naturel si on réfléchit sur des matrices par blocs (c'est souvent une bonne idée dans ce genre de situation). -
Bonjour dSP,
Pourquoi le carré de ea(1-e) est égale à 0?
Merci, Michiel -
parce que $(1-e)e = e -e^2 = e-e = 0$
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Merci Maxtimax,
Effectivement (ea(1-e)).(ea(1-e))= ea((1-e)e)a(1-e)= ea.0.a(1-e)=0
Merci pour la jolie solution!
Michiel -
Est-ce-que l’inverse est vrai i.e. si tous les idempotents sont dans le centre , sont toutes les unités dans le centre?
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Bonsoir Michiel,
Non : prends une algèbre à division non-commutative (par exemple les quaternions de Hamilton). Alors elle n'a pas d'autres idempotents que $0$ et $1$, qui sont bien dans le centre, mais tous les éléments non nuls sont des unités et en particulier il y en a qui ne sont pas dans le centre.
Amicalement,
Aurel -
ça, non. Le point est qu'il est facile de trouver des anneaux qui ont peu ou pas d'idempotents mais des unités non centrales, alors que comme on vient de le voir, avoir des idempotents force à avoir des nilpotents et donc des unités.
Prenons par exemple $A= \mathbb F_p[G]$, où $G$ est un $p$-groupe non commutatif. Alors clairement $A$ a beaucoup d'unité non centrales (tous les éléments de $G$ sont des unités, mais sont centraux si et seulement s'ils le sont dans $G$), mais il n'a pas d'idempotent non trivial (si besoin de détails j'expliquerai, mais sans y réfléchir je ne connais pas de preuve élémentaire)
EDIT : je suis bête, je viens de voir le message d'aurelpage - je n'avais même pas pensé aux algèbres à division :-D -
Merci Aurel! Effectivement, le centre de H est R, les nombres reels.
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De rien !
Maxtimax, ta remarque sur $A = \mathbb{F}_p[G]$ où $G$ est un $p$-groupe est intéressante. Est-ce que tu peux détailler ? Est-ce que c'est parce que $A$ est un anneau local ou quelque chose comme ça ?
Aurel -
aurelpage: oui tout à fait, lorsque $G$ est un $p$-groupe l'idéal d'augmentation est nilpotent, donc $A$ est local et tous ses modules projectifs sont libres.
Il y a peut-être une manière plus simple d'observer que $A$ n'a pas d'idempotent non trivial, mais je ne suis pas sûr ...
Edit: rolala ce soir je fais n'importe quoi, je me complique la vie !! :-D pas besoin d'invoquer les modules projectifs bien sûr, si $e$ est un idempotent alors ou bien il est inversible (auquel cas il vaut $1$) ou bien il est nilpotent (auquel cas il vaut $0$). Bien sûr, Aurel l'avait repéré mais je le mentionne pour qu'une personne qui passe ne s'imagine pas que c'est très compliqué. -
Bonjour,
Est-ce que si $A$ est un anneau avec unité, dont tous les inversibles sont dans le centre, alors $A$ est commutatif ?
Merci d'avance. -
Que penses-tu de l'algèbre libre à deux générateurs, c'est-à-dire l'algèbre (disons sur $\C$) du monoïde formé sur les mots à deux lettres $a$ et $b$ ? Les seuls inversibles sont les multiples scalaires de l'unité mais elle n'est pas du tout commutative.
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@ Math Cross: pour completer: quel est le centre de ton algèbre (anneau) à deux générateurs?
Quelles sont les unités et le centre si on remplace $\C$ par $\Z$ ? -
Le centre, ce sont aussi les scalaires. Sur $\Z$, c'est pareil, non ?
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Merci Math Coss.
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