Inégalité nombres complexes

Bonjour
J'ai l'exercice suivant.

Soient $a,b$ deux nombres complexes tels que $|a|<1$ et $|b|<1$.
Montrer : $$\frac{|a-b|}{|1-\overline{a}b|}<1.

$$ Déjà, le dénominateur est non nul en raison du choix de $a$ et $b$ de modules tous deux strictement inférieurs à $1$.
Je suis passé par le carré du module.
On a : $$\frac{|a-b|^2}{|1-\overline{a}b|^2}=\frac{(a-b)(\overline{a}-\overline{b})}{(1-\overline{a}b)(1-a\overline{b})}=\frac{|a|^2+|b|^2-a\overline{b}-b\overline{a}}{1-a\overline{b}-b\overline{a}+|a|^2|b|^2}=1+\frac{-1-|a|^2|b|^2+|a|^2+|b|^2}{1-a\overline{b}-b\overline{a}+|a|^2|b|^2}.

$$ Il est clair que : $1-a\overline{b}-b\overline{a}+|a|^2|b|^2<0$.
De plus, $-|a|^2|b|^2<0$ et $|a|^2|b|^2<1$.
Ainsi : $-1-|a|^2|b|^2+|a|^2|b|^2<0$.
Donc : $$\frac{-1-|a|^2|b|^2+|a|^2+|b|^2}{1-a\overline{b}-b\overline{a}+|a|^2|b|^2}<0.

$$ Puis : $$1+\frac{-1-|a|^2|b|^2+|a|^2+|b|^2}{1-a\overline{b}-b\overline{a}+|a|^2|b|^2}<1.

$$ Finalement : $$\frac{|a-b|}{|1-\overline{a}b|}<1.

$$ Est-ce comme ceci qu'il faut raisonner ?
Je vous remercie par avance.
Tony