Intégrale

Bonjour
Si $\int_\R f(t)dt\geq 0,$ est-ce que $f$ est positive presque partout, la mesure est de Lebesgue.

Réponses

  • Non, et c'est tellement simple que tu devrais pouvoir construire un exemple toi-même.
  • Je n'arrive pas à construire un exemple
  • Tu devrais savoir ce qu'est une indicatrice, si tu connais la mesure de Lebesgue.
  • L'intégrale de Lebesgue prolonge l'intégrale classique (Riemann si tu veux) et c'est déjà faux d'habitude ...
  • J’ose tenter d’aider sans dévoiler le grand secret :

    Trouver une fonction $g$ telle que : $\displaystyle \int_0^1 g <0$.
    Trouver une fonction $h$ telle que : $\displaystyle \int_1^2 h >0$.

    Regarder ce que l’on peut construire sur $[0;2]$ puis sur $\mathbb R$.
  • De toute façon, prends une fonction intégrable qui a des valeurs positives et des valeurs négatives, son intégrale a bien un signe.
  • Frédéric : j'ai voulu le pousser à fabriquer lui-même une telle fonction. Dom en a peut-être déjà trop dit...
  • C'est possible de faire de l'analyse suffisamment poussée pour employer les mots "mesure de Lebesgue" sans avoir vu une intégrale de fonction qui change de signe ?
  • Daimon:

    Tu n'as jamais vu dans ta scolarité que le calcul intégral permet de calculer des aires algébriques?
    Si la courbe représentative de la fonction qu'on intègre est positive sur un intervalle $[a,b]$ l'aire sous la courbe est positive, si la fonction est négative sur un intervalle $[a,b]$ l'aire sous la courbe est négative.
    Si la fonction à intégrer change un nombre fini de fois de signe sur un intervalle $[a,b]$ on peut découper l'intervalle $[a,b]$ en une réunion disjointe finie d'intervalles fermés sur lesquels la fonction à intégrer a un signe constant. L'aire sous la courbe est la somme des aires algébriques sous la courbe pour chacun de ces intervalles.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Oui, Homo Topi, j’ai souhaité être le plus explicite sans trahir le secret.
    C’est un péché d’orgueil de croire que j’y suis parvenu, certainement.
  • Dom, le grand secret, je ne suis pas certain d'avoir compris à quoi tu faisais allusion. Je me doute que c'est ironique, mais du coup je ne sais pas si tu parlais de "l'indicatrice" ou d'un contre-exemple tout simple sans indicatrice.
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
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