Matrice semblable à son carré

Bonjour.

L'exercice suivant a été posé à l'oral MP de Mines-Ponts en 2019 : déterminer les matrices $M$ de $\mathscr{M}_n(\C)$ telles que $M$ et $M^2$ soient semblables.

Le cas $n=2$ est simple : j'obtiens la matrice nulle et les matrices de polynôme caractéristique $(X-1)^2$ ou $X^2+X+1$.

Par contre, pour le cas $n$ quelconque, je n'arrive pas à obtenir l'ensemble des solutions. Pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance!

Réponses

  • Que peux-tu dire des valeurs propres de $M$ ?
  • Dans le cas $n=2$ il y a d'autres matrices.
  • Pour $n=2$ je trouve 5 classes de similitude et 11 pour $n=3$ (après correction d'un oubli).

    Le cas général ne me parait pas simple.
  • Oups, j'ai en effet oublié dans le cas $n=2$ les matrices de polynôme caractéristique $X(X-1)$.
  • Cet exercice a fait l’objet d’une discussion sur les fils de l’UPS : la conclusion majoritaire était que l’énoncé est certainement incomplet.
  • Je suis allé un peu vite pour le cas $n=3$, il y a en fait 11 classes de similitude.

    Pour $n=4$ j'en trouve 27.
  • De mon téléphone : "déterminer".

    Solution : c'est l'ensemble des matrice M telles qu'il existe P bijective vérifiant MP = PMM

    :-D

    Conseil: ne jamais faire un exo qui commence par "déterminer : c'est encourager la flemme de l'auteur de l'exo.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Et la flemme du logicien surtout ;-)
  • bonjour, si deux matrices sont semblables, elles représentent le même endomorphisme.
    A demon  wind propelled me east of the sun
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