Anneaux non commutatifs

Bonjour,

Je me demande s'il y a une caractérisation des anneaux sur lesquelles on a l'équivalence entre inverse à gauche et inverse à droite ( tout comme l'ensemble des matrices de dimension n sur un corps )

Merci d'avance.

Réponses

  • Salut,

    Il y a l'affaiblissement axiomatique du groupe qui permet de dire que si chaque inverse à gauche a un inverse à gauche alors l'ensemble des éléments inversible à gauche est un groupe (pour la "multiplication").
  • Plutôt qu'une « équivalence » mystérieuse, c'est plutôt l'égalité qui est visée, non ?
    Si $x$ a un inverse à gauche $x'$ et un inverse à droite $x''$ alors : $x'=x' \cdot 1= x'(xx'')=(x'x)x''=1 \cdot x''=x''$.
  • Chaurien,
    oui mais ma question c'est quand est-ce qu'on a : tout élément inversible à gauche est également inversible à droite (c'est le cas pour les matrices par exemple).
  • En réfléchissant, il m'apparaît que l'obscur énoncé initial pourrait signifier : l'existence d'un inverse à gauche implique-t-il l'existence d'un inverse à droite ? Là je n'ai pas la réponse générale, mais il me semble qu'un anneau d'applications bien fabriqué pourrait donner une réponse négative. À voir...
  • Chaurien : il est clair qu'en général ce n'est pas le cas, ce n'est pas la question - la question est "peut-on caractériser les anneaux pour lesquels il y a équivalence, comme par exemple les anneaux commutatifs ou plus généralement les anneaux de matrices sur un anneau commutatif ?"
  • Re,
    Je donne quand même un exemple d'élément d'un anneau qui a un inverse à gauche sans en avoir un à droite:
    Soit $E$ un espace vectoriel de dimension infinie dénombrable, avec une base $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$, l'ensemble des endomorphismes de $E$ est évidement un anneau. On considère l'endomorphisme $f$ tel que $\forall n\in \mathbb{N}, f(e_n)= e_{2n}$, cette application est injective, mais non surjective. On lui trouve sans souci des inverses à gauche dans l'anneau des endomorphisme en question (une application linéaire $g$ qui à chaque élément de la base renvoie $g(e_n)=e_{n/2}$ si $n$ est paire, ce que vous voulez sinon), pourtant, elle n'a pas d'inverse à droite (puisqu'elle n'est pas surjective).
  • Maxtimax, oui exactement ...un exemple simple serait l'ensemble des endomorphismes sur les fonctions de class C1 sur IR, H l'endomporphisme qui à f associe sa primitive qui s'annule en 0, et D l'endomorphisme dérivation...on a bien D(H)=id , et c'est pas le cas pour H(D).
  • Cogito : Alors déjà ta classe d'anneaux est stable par produit (facile), par passage à un sous-anneau (facile aussi, il suffit de remarquer que si tu as un inverse à gauche et un à droite, ils sont égaux).

    Elle va contenir tous les anneaux semi-simples (euh... il faudrait montrer le résultat pour $M_n(D)$ pour un anneau à division $D$. Bon, si $NM = I_n$, alors $M-: D^n\to D^n$ est surjective (morphisme de $D$-modules à droite), de sorte qu'elle donne un isomorphisme $D^n/\ker(M-) \to D^n$, et il faudrait alors se convaincre que 1- tous les modules sur $D$ sont libres (ça c'est facile) 2- deux bases quelconques d'un $D$-module ont même cardinal (ça doit être la même preuve qu'avant je dirais, mais faudrait la faire précisément - en tout cas c'est vrai), et donc $\ker (M-) = 0$ et donc $M-$ est aussi injective, et donc un isomorphisme, d'où $MN = I_n$), et tous leurs sous-anneaux (je ne sais pas si un sous-anneau d'un anneau semi-simple est semi-simple ?)

    Elle n'est malheureusement pas stable par quotient (pour s'en convaincre il suffit de vérifier que les anneaux libres vérifient la propriété en question, puisqu'ils ont en fait très peu d'inversibles).
  • On a les résultats suivants :
    * Si $A$ commutatif ou $A$ fini alors "inversible à gauche" équivaut à "inversible"
    La réciproque est fausse prendre $M_n(\mathbb{R})$.
    * Soit $a\in A$ inversible à gauche alors on a équivalence entre :
    (1) l'inverse à gauche est unique
    (2) $a$ inversible à droite

    Je fais remarquer aussi que l'implication diviseur de zéro => non inversible est fausse dans un anneau non commutatif (prendre l'opérateur dérivée sur l'anneau des opérateurs linéaires sur les polynômes de degré $n$ : il est inversible à droite).
  • Pour la première propriété, tu veux dire que l'anneau des matrices est un anneau où « inversible à gauche équivaut à inversible » mais qui n'est ni fini, ni commutatif ?

    Pour la dernière, je pense que tu te trompes : « inversible » c'est « inversible à gauche et à droite » : la dérivation n'est pas inversible, bien qu'elle soit inversible à droite. (En passant, la dérivée, c'est la fonction obtenue après dérivation ; de même on a une différence entre transformation de Fourier ($\mathcal{F}$) et transformée de Fourier ($\mathcal{F}(f)$), bien que l'usage tende à désigner $\mathcal{F}$ la transformée.)
  • Les anneaux qui ont la propriété décrite dans ce fil sont communément appelés dans la littérature des anneaux de type Dedekind-fini (ou de von Neumann-fini).
    Je ne suis pas certain (je n'y connais rien en algèbre...) mais il semble ne pas avoir de caractérisation simple de ces anneaux.
    Cependant, cette dénomination permet de reformuler le fait d'être un anneau semi-simple parmi la classe des anneaux de type von Neumann régulier (définition à voir dans le livre cité plus-bas).

    On peut voir cette appellation (ainsi que les preuves détaillées de certaines caractérisations) dans le livre de T.Y.Lam : A First Course in Noncommutative Rings.
  • Le mot "caractérisation" est vague. L'énoncé du premier ordre :
    $$

    \forall x,y,\ xy=1\quad\to\quad \exists z,\ zx=1

    $$ est quasiment la caractérisation évidente la plus simple.
    Or du calcul
    $$
    z=z1 = zxy = 1y=y

    $$ découle qu'on peut descendre d'un cran en terme de complexité objective (alternance de quantificateurs) et dire qu'ils sont caractérisés par le fait de vérifier :
    $$
    \forall x,y,\quad xy=1\quad\to\quad yx=1

    $$
    Or la complexité de cet énoncé est la plus basse qui existe. Tu peux donc considérer que la caractérisation est celle-ci. Tout autre serait une usine à gaz à côté.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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