Démonstration par récurrence

Si tu veux montrer par récurrence que la propriété $(P_n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb N$, il faut montrer que $(P_0)$ est vraie, puis que si $(P_n)$ est vérifiée pour un entier $n\in \mathbb N$, alors $(P_{n+1})$ est vraie.

Tu peux donc commencer par formuler correctement ta propriété $(P_n)$, puis $(P_0)$ (il suffit de poser $n=0$ dans ladite propriété), puis $(P_{n+1})$.

Tu pourras alors procéder aux deux étapes de la récurrence rigoureusement et ainsi voir pourquoi ton précédent raisonnement était incorrect.

Désolé j'ai eu à modifier mon précédent message que tu peux relire

La récurrence est simple. La fonction $x \mapsto \frac 2{1+x} $ est strictement décroissante sur ...
On suppose $0 \le u_n \le 3$, et on en déduit $... \le \frac2{1+u_n} \le ...$.

Ce que Chaurien veut dire est que $\displaystyle U_{n+1}=f(U_n)$ et la fonction $f$ est strictement décroissante.

Cette remarque évite de se battre avec des inégalités avec le risque de se tromper.

Si la fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est décroissante alors pour $x,y\in I$ tels que $x\leq y$ on a $f(y)\leq f(x)$

Il s'agit effectivement d'une épreuve du baccalauréat, donc c'est du niveau Terminale, si je ne m'abuse. L'élève n'est certainement pas très familier avec le concept de récurrence et c'est probablement tout à fait normal.

Le raisonnement par récurrence consiste à prouver que si une propriété est vraie pour un certain entier naturel $n$, alors elle est vraie pour $n+1$. Plus la vérification pour $n=0$. Ici tu supposes que $0 \le u_n \le 3$ et tu en déduis que $0 \le \frac3{1+u_n} \le 3$.
Je joins un article sur ce mode de raisonnement.
Bon courage.
Fr. Ch.


...

D'accord avec Poli. IBOU est un lycéen qui voit la récurrence pour la première fois et nous fait part de ses difficultés. Il doit être aidé. OShine me semble particulièrement mal placé pour le prendre de haut.

Bonjour IBOU. Je te conseille de retenir par cœur une rédaction type pour les récurrences, de laquelle tu ne t'éloigneras (quasiment) jamais.
0) Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $\mathscr{P}(n)\;:\;"........."$ (à la place des petits points tu mets une proposition qui dépend de $n$ (comme par exemple "$u_n\leq 3n+2$" ou bien "$v_{n+1}\leq v_n$", mais par contre pas "$(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ croissante"), c'est la proposition que tu veux démontrer $\textbf{sans le}$ $\forall n\in\mathbb{N}$).
1) $\mathscr{P}(0)$ est vraie : en effet .... (à la place des petits points, tu écris ce qu'est $\mathscr{P}(0)$ en remplaçant $n$ par $0$ dans ce qu'est $\mathscr{P}(n)$, et tu constates/montres que c'est vrai (c'est souvent simple)). Il faut ici faire attention au premier $n$ concerné, parfois $n\in\mathbb{N}$ donc on montre que $\mathscr{P}(0)$ est vraie, parfois $n\in\mathbb{N}^*$ donc on montre que $\mathscr{P}(1)$ est vraie, ...
2) Soit $n\in\mathbb{N}$. Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie. Montrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
On a ..... (ici, tu recopies $\mathscr{P}(n)$).
On veut montrer ..... (ici, tu recopies $\mathscr{P}(n+1)$, c'est-à-dire que tu recopies $\mathscr{P}(n)$ en remplaçant bêtement $n$ par $(n+1)$).
Il te faut alors trouver un moyen de passer de ce que tu as à ce que tu veux (souvent des opérations sur des égalités/inégalités...mais jamais remplacer bêtement $n$ par $n+1$ !).
3) On en déduit que $\mathscr{P}(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Je te propose d'appliquer cela (encore une fois, à la lettre !) pour montrer que si la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est définie par $u_0=2$ et $\forall n\in\mathbb{N},\; u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$, alors on a $\forall n\in\mathbb{N},\; u_n=\dfrac 2{2n+1}$.

On suppose qu'il existe un $n$, pas pour tout $n$ (c'est un passage très important auquel il faut réfléchir).
Ensuite, le passage où $u_n + 1$ "devient" $u_{n+1} $ s'appuie sûrement sur une fonction et ses variations, mais il faut l'écrire clairement.

Oui, il faut supposer que pour un $n \in \mathbb N$ on a : $0 \le u_n \le 3$.
La suite du raisonnement est correcte, notamment le passage : $ 1 \le u_n+1 \le 4$ implique $\frac 14 \le \frac 1{u_n+1} \le 1$, bien vu.
Je ne vois pas de nécessité d'expliquer ceci de façon plus détaillée. L'implication $0<x<y \Rightarrow 0<\frac1y <\frac 1x$ me semble une question de cours qu'on n'a plus à justifier.
Désignant par $\mathcal P(n)$ l'assertion : $0 \le u_n \le 3$, on a montré l'implication : $\mathcal P(n) \Rightarrow \mathcal P(n+1)$.
Comme de plus l'assertion $\mathcal P(0)$ est vraie, le principe de récurrence permet d'en conclure : $ \forall n \in \mathbb N, \mathcal P(n)$.
Bonne nuit.
Fr. Ch.

Je maintiens qu'il faut évoquer la fonction inverse, a fortiori quand on débute.