continuité

dans Les-mathématiques
Bonsoir à tous,
J'ai un DM à rendre, et en fait je ne vois pas trop comment faire pour 2 questions:
Soit n>= 1 et f une apllication continue de $\R^n$ dans $\R$ telle que lim f(x) = +$\infty$ quand |x| tend vers +$\infty$.
1. Monter que f est minorée.
2. Monter que f atteint saz borne inf.
"excusez-moi, je ne métrise pas trop le latex"
Je vous remercie d'avance
J'ai un DM à rendre, et en fait je ne vois pas trop comment faire pour 2 questions:
Soit n>= 1 et f une apllication continue de $\R^n$ dans $\R$ telle que lim f(x) = +$\infty$ quand |x| tend vers +$\infty$.
1. Monter que f est minorée.
2. Monter que f atteint saz borne inf.
"excusez-moi, je ne métrise pas trop le latex"
Je vous remercie d'avance
Réponses
-
salut,
la cle de tes deux questions est de te ramener à étudier f sur un compact, ici une boule fermée de $ \R^n $.
pense à $ f(x) = x^2 $ et fais un dessin pour bien comprendre
bonne soirée -
salut,
la cle de tes deux questions est de te ramener à étudier f sur un compact, ici une boule fermée de $ \R^n $.
pense à $ f(x) = x^2 $ et fais un dessin pour bien comprendre
bonne soirée -
Oui, j'ai déjà fait un dessin pour mieux analyser les choses...Sur $\R$, je vois comment faire, mais ce qui me poser un petit problème c'est le fait de considérer $\R^n$...Je vais essayer de prendre une boule de $\R^n$ et voir ce que je pourrais faire!
En tt cas, merci Mikael
Sylvie -
Bonsoir, c moi encore une fois!
Je n'arrive pas à voir comment faire pour ces 2 questions sur $\R^n$...Alors, si quelqu'un peut me donner un coup de main, j'en serai ravie..
Merci
sylvie -
je vais t'aider
supposons que $ f $ ne soit pas minorée, alors il existe une suite $ (x_n)_n $ d'elements de $ \R^n $ telle que $ f(x_n) \longrightarrow - \infty $.
la suite $ (x_n)_n $ est forcement bornée sinon on pourrait en extraire une sous suite telle que $ |x_{\phi(n)}| \lonrightarrow +\infty $. par hypothèse sur $ f $, on a que $ f(x_{\phi(n)}) \longrightarrow +\infty $, mais ceci contredit le fait que $ f(x_n) \longrightarrow - \infty $. $ (x_n)_n $ etant bornée, on peut en extraire une sous suite $ (x_{\phi(n)})_n $ qui converge vers $ l \in \R^n $ et par continuité de $ f $, $ f(x_{\phi(n)}) \lonrightarrow f(l) $, ce qui contredit le fait que $ f(x_n) \longrightarrow - \infty $.
maintenant que tu sais que f est minorée, il te reste a montrer qu'il existe $ \eta > 0 $ tel que $ \inf\{f(x), x \in \R^n\} = \inf\{f(x), |x|\leq \eta \} $.
le deuxieme ensemble etant compact, f atteint son inf sur ce compact car elle est continue. -
Voilà une preuve directe pour le début :
comme f(x) tend vers + l'infini quand l x l tend vers l'infini, par définition :
quelquesoit A , il existe B / lxl > B entraîne f(x) > A . Fixe un A arbitraire ,
Inf { f(x) / x dans tout l'espace } =
Min ( Inf {f(x) / lxl> B } , Inf {f(x) / lxl =< B } ,
le premier terme est minoré par A le second minoré car f continue sur le compact lxl =< B .
Pour la deuxième partie suffit de choisir le A = l f(x0)l je te laisse rédiger
lolo -
Merci Mikael et merco à toi aussi Lolo.
Bonne nuit à tous.
Sylvie.
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