Valeur propre triple

Désolé, j’ai mal lu ton message!

Bonjour Dedekind 93,

Lorsque $\mathbb K = \mathbb C,\:$ la réponse à ta question initiale est positive.
Soient $\alpha,\beta,\gamma \in \C,\:\:A,B,C \in \mathcal M_3(\C).\:\: $ Le polynôme caractéristique de $\alpha A+\beta B+\gamma C\:\:$ est $X^3-pX^2+qX-r $ où $ p=P(\alpha,\beta,\gamma), \:\:q=Q(\alpha,\beta,\gamma),\:\: r=R(\alpha,\beta,\gamma)$ sont les évaluations en $(\alpha,\beta,\gamma)$ d'éléments $P,Q,R \in \Z[X,Y,Z]$ nuls ou homogènes de degrés respectifs $1,2,3$.
La condition " $\alpha A+\beta B+\gamma C$ admet une valeur propre triple " s'écrit $3q-p^2=0, \:27r-p^3=0$ qui est un système polynomial homogène qui, $\C$ étant algébriquement clos, admet une solution $(\alpha,\beta, \gamma)$ non nulle dans $\C^3$. Plus précisément, si les polynômes $\:3Q-P^2$ et $27R -P^3$ sont premiers entre eux, le système décrit l'intersection de deux courbes du plan projectif complexe,l'une de degré $2$, l'autre de degré $3$ et cette intersection contient exactement "$6$ points comptés avec leur multiplicité."

L'exemple des matrices $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix},\:\:B =\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{pmatrix},\:\:C =\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}$ montre que le résultat cesse d'être vrai lorsque $\mathbb K = \R$.
(le contre-exemple de Tonm ne convient pas car $(1\times M_1)+(0\times M_2) +( 0\times M_3) =\mathrm I_3.$)