Petite interrogation d'algèbre linéraire

Hob___
Hob___
dans Algèbre
Bonjour,
j'aurais une petite interrogation mineure.

Soient $n < d $ deux entiers naturels. Soit $U\in M_{d,n}(\mathbb{R})$ une matrice dont les colonnes sont orthonormales.
On considère $R=\{UU^{T}x\mid x\in\mathbb{R}^{d}\}$.
Montrer que la dimension de $R$ est égale à $n$ et qu'il existe une matrice $V\in M_{d,n}(\mathbb{R})$ dont les colonnes forment une base orthonormale de $R$ et telle que tout vecteur de $R$ puisse s'écrire $Vy$, où $y\in\mathbb{R}^{n}$.

Auriez-vous une indication s'il vous plaît ?

PS : par ailleurs, sur Google Chrome, sur l'intégralité des messages du forum, des barres verticales apparaissent à la fin de chaque morceau de LaTeX. Comme ceci : Image. Sauriez-vous quelle en est la cause et comment régler ce problème s'il vous plaît ?
[Pour les barres verticales avec MacOS voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,1204455,1209141#msg-1209141 AD]
EDIT : merci beaucoup AD et Rescassol.

Réponses

  • julian
    julian
    Peut-être commencer par raisonner sur de petites dimensions ?
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Sur du $\LaTeX$, bouton de droite, Math Settings, Math Renderer, SVG.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Hob___
    Hob___
    Merci AD et Rescassol. Je n'ai plus de problème d'affichage.

    Quant à l'interrogation que je posais, j'ai essayé de raisonner avec $n=2$ et $d=3$ mais j'obtiens une expression de $UU^{T}x$ dont je ne sais pas quoi faire.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,

    Quel est le rang de $U$ ? Quelle est l'image de $U^{\mathsf T}$ ?
  • Hob___
    Hob___
    $U$ a un rang égal à $n$ et $U^{T}x=\begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{d}U_{i,1}x_{i} \\ \cdots \\ \sum_{i=1}^{d}U_{i,n}x_{i} \end{pmatrix}$ si je ne m'abuse.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Hum. Tu n'as pas vraiment saisi la perche.
    Tu as répondu correctement à ma première question. Ta réponse à ma deuxième n'avance pas à grand chose. Je mets des questions intermédiaires :
    Quel est le rang de $U^{\mathsf T}$ ?
    L'image de $U^{\mathsf T}$ est un sous-espace de quel espace ?
    Quelle est l'image de $U^ {\mathsf T}$ ?
  • Hob___
    Hob___
    $\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}$ $\rg(U^{T})=\rg(U)$ donc $\rg(U^{T})=n$. L'image de $U^{T}$ est un sous-espace de $\mathbb{R}^{n}$. $\rg(U)=n$ donc $\dim(R)=n$.
    Et pour $V$, $V = (V_1 \cdots V_n)$ avec $V_k= \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ convient (i.e. les $n$ premiers éléments de la base canonique de $\mathbb{R}^{d}$). Je vous prie de me corriger si je me trompe.
  • Ramufasa
    Ramufasa
    Bonjour
    Tu connais le rang de la transposée de U et tu sais que l'image de la transposée de U est un sous-espace de $\mathbb{R}^n$ donc tu peux nous dire ce qu'est exactement l'image de la transposée de U. Une fois que tu auras dit explicitement cela, la réponse devrait être plus claire pour toi. Je pense que c'est ce que voulait te faire dire GaBuZoMeu.
  • Hob___
    Hob___
    Oui, $\rg(U^{T})=n$ et l'image de la transposée de $U$ est un sous-espace de $\mathbb{R}^n$ donc $Im(U^{T})=\mathbb{R}^n$. D'où $\dim(R)=n$ comme je l'ai écrit. C'est bien cela ? Je ne sais pas si tu as pu voir mon message une fois édité.

    Est-ce bien cela ? Et concernant $V$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bon, on en est arrivé au fait que l'image de $U^{\mathsf T}$ est $\mathbb R^n$ tout entier.
    As-tu bien réalisé que $R$ est l'image de $UU^{\mathsf T}$ ? Et donc que $R$ est aussi l'image de ... ?
    Si oui, tu devrais voir que l'énoncé t'a déjà donné une base orthonormée de $R$, et que ce n'est pas celle que tu dis, qui est une famille de vecteurs dont rien ne dit qu'ils appartienent à $R$.
  • Hob___
    Hob___
    $R$ est l'image de $U$ puisque l'image de $U^{T}$ est $\mathbb{R}^n$ entier.

    Donc une base orthonormée de $R$ équivaut à une base orthonormée de $Im(U)$.

    $Im(U)=\{Uy,y\in\mathbb{R}^n\}$. Les $n$ colonnes de $U$ sont indépendantes puisque $rg(U)=n$, orthonormées, et engendrent par définition $Im(U)$. Elles constituent donc une base de $R$. Notons-les $(U_1, ... ,U_n)$. Et je ne vois toujours pas clairement le lien avec $V$.

    J'ai perdu l'habitude, si tant est que je l'ai déjà eue pleinement, de ces raisonnements entre bases et rang, en particulier avec avec des matrices non carrées, en-dehors du théorème du rang et des liens avec les matrices inversibles.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    On te demande une matrice dont les colonnes forment une base orthonormale de $R$. N'en as-tu pas déjà une ?
  • Hob___
    Hob___
    Tout élément $a\in R$ peut s'écrire $a=\lambda_1 U_1 + ... + \lambda_n U_n$. Mais qu'est-ce qui m'assure que je puisse écrire $a=Uy$ où $y\in\mathbb{R}^n$ ?

    EDIT : oui d'accord, je vois. $$U \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum U_{1,i} \lambda_i\\ \vdots \\ \sum U_{1,d} \lambda_i \end{pmatrix} = \sum \lambda_i U_i.

    $$ Merci à vous.
  • Hob___
    Hob___
    Dans la même veine, la tranposée d'une matrice $M_{m,n}$ orthogonale est-elle nécessairement orthogonale ?
  • raoul.S
    raoul.S
    Non. Si par exemple $m<n$ et que les $m$ lignes sont orthogonales alors elles sont libres et le rang de $M_{m,n}$ vaut $m$, donc les $n$ colonnes de $M_{m,n}$ ne peuvent pas être orthogonales.
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