Un petit sujet de Polytechnique

Hier, je me suis rendu compte que j'avais fait une erreur dans le corrigé d'un exo d'oral que j'ai donné à mes élèves.

Voici le sujet :
Polytechnique a écrit:
  1. Montrer que pour tout réel positif $x$ et tout entier strictement positif $n$, $(1+\frac{x}{n})^n\leq e^x$.
  2. Soit $\alpha\in\R$. Étudier la limite de la suite $(x_n)_{n\in\N^*}$ définie par : \[x_n=\int_0^n\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-\alpha x}dx\].

La première question est triviale et permet de se débarrasser sans difficulté du cas $\alpha>1$.
En revanche, je ne vois pas comment traiter le cas $\alpha\leq 1$ sans faire plein de sous cas.

Plus précisément, j'ai trouvé un moyen simple de traiter le cas $\alpha\leq \ln(2)$, mais je ne sais pas comment en découdre avec $\ln(2)< \alpha\leq 1$.

Vous avez une idée ?

Réponses

  • En comparant le cas $\alpha \leq 1$ avec le cas $1+\epsilon$, on obtient par monotonie :
    \[
    \forall \epsilon > 0,\quad \liminf_{n \geq 1} x_n \geq \frac1{\epsilon}.
    \]
  • Bonjour,

    J'ai fait des gribouillages pour mes calculs sur papier.
    Et effectivement, je trouve le même problème que le tien, à savoir faire une disjonction de cas pour les valeurs prises par <alpha>.

    Je trouve les expressions suivantes de la limite de (x_n):

    (i) pour <alpha> = 0. Cas trivial: lim(x_n) = e^n - 1.

    (ii) pour <alpha> = 1. Cas trivial: impossible. [1/(1-alpha)] = 1/0 !!!

    (iii) pour <alpha> = -1. Cas trivial: lim(x_n) = +inf

    (iv) pour <alpha> > 1 (sur ]1;+inf[, lim(x_n) = +inf.

    (v) pour <alpha> sur ]-inf ; 0[ U ]0;1[, lim(x_n) = +inf.

    Pour (iii), (iv), (v), je ne suis pas sûr du tout car j'ai pas vérifié la convergence pour les valeurs de <alpha>.
  • Soit $f_n(x)=\chi_{[0;n]}(x)e^{-\alpha x}(1+\frac xn)^n$, pour $x$ positif.
    $(f_n)$ est une suite croissante de fonctions positives, donc la limite des intégrales sur $]0;+\infty[$ est l'intégrale de la limite.
  • Malheureusement, incognito, le théorème de convergence monotone ne fait pas partie de l'attirail de l'élève de prépa, et même si on se rapproche d'un cours où les intégrales prenant une valeur infinie seront chose courante, ce n'est pas encore le cas.
    Cependant, je retiens l'idée de la monotonie dans un coin de ma tête.
  • .
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Peut-être que l'on peut s'en sortir en utilisant que
    \[\forall u \in[0,1],\quad u - \dfrac{u^2}{2} \leq \ln(1+u) \leq u.\]
    Si je n'ai pas fait une erreur (je l'ai fait rapidement), il me semble que l'on en déduit que
    \[x_n \geq \textrm{e}^{-1/2} \int_0^{\sqrt{n}} \textrm{e}^{(1-\alpha)x}\textrm{d}x.\]
  • Soit $A>0$, pour $n>A$, $x_n\geq \int_0^A (1+x/n)^ne^{-\alpha x}dx$.
    Soit $\epsilon >0$, pour $x \in [0,A]$, et pour $n$ suffisamment grand, $(1- \epsilon)(x/n)\leq \log(1+x/n) \leq x/n$.
    Donc $e^{(1- \epsilon)x} \leq(1+x/n)^n \leq e^x$.
    Donc $x_n \geq\int_0^A e^{(1-\epsilon-\alpha)x}dx$.
    Donc, pour $\alpha \leq 1$, $\lim \inf x_n \geq A$ (quelque soit $A>0$).
  • Comme le dit MrJ $\log (1+u)-u+\frac{u^2}{2}\geq 0$ si $0<u<1$ par étude de fonction. En faisant $u=x/n$ on arrive à

    $$x_n=\int_0^n\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-x}dx\geq \int_0^ne^{-x^2/2n}dx=\sqrt{n}\int_0^{\sqrt{n}}e^{-y^2/2}dy\ \underset{n\to\infty }{\sim}\ \sqrt{\pi n/2}.
    $$ Le cas $\alpha<1$ est trivial car $e^{-x}<e^{-\alpha x}.$
  • MrJ et P. : Nickel, ça me convient très bien.
    Merci tout le monde.
  • Bonjour bisam, peux-tu donner un résumé sans démonstrations suivant les cas pour tes lecteurs. Merci
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Bonjour Gebrane,

    Comme dit incognito http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2254356,2254392#msg-2254392 le théorème de convergence monotone donne facilement la réponse :

    La limite est $\int_{0}^{+\infty} e^{(1-\alpha) x} dx = \frac{1}{\alpha-1}$ si $\alpha>1$, et $+\infty$ si $\alpha \le 1$.
  • marsup je ne le demandais pas à moi, car j'ai connu cette question; elle est traitée aussi sur MSE https://math.stackexchange.com/questions/2774313/study-of-the-sequence-int-0n-left1-fracxn-rightn-e-alpha-x-mathr?noredirect=1 par la même méthode de incognito convergence monotone. Je voulais juste soulager les visiteurs qui s’intéressent
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


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