Convergence loi gamma
Bonjour,
Sur Wikipédia on peut lire que Pour k grand, la distribution Gamma converge vers une loi normale ici Wiki
Je me demande comment on peut le prouver, existe-t-il une référence dans les BU ? Merci !
Sur Wikipédia on peut lire que Pour k grand, la distribution Gamma converge vers une loi normale ici Wiki
Je me demande comment on peut le prouver, existe-t-il une référence dans les BU ? Merci !
Réponses
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Tu peux invoquer le théorème central limite, ou étudier le comportement asymptotique de la fonction caractéristique de la loi.
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Bonjour,
Je pense que tu peux le faire facilement grâce au théorème de convergence de Paul Levy https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_convergence_de_Lévy -
La formulation de l'article Wikipedia est trompeuse car la convergence en loi n'a de sens qu'après renormalisation.
La loi $\Gamma(k,\theta)$ est la loi de $S_k = X_1 + \cdots + X_k$ où les $(X_1,\dots,X_k)$ sont indépendantes et de même loi $\Gamma(1,\theta)$. En vertu du théorème central limite, on a convergence en loi de $Z_k = \frac1{\sqrt k}(S_k - k\theta)$ vers la loi $\mathcal N(0,\theta^2)$ lorsque $k\to+\infty$.
On en déduit alors facilement la convergence en loi de $\frac1{\sqrt{k-1}}(S_k - (k-1)\theta) = \sqrt{\frac{k}{k-1}}(Z_k + \frac{\theta}{\sqrt k})$. -
Ca m'intéresse avec la fonction caractéristique par contre, elle est de la forme
$$
\varphi(t) = \left( \lambda \over \lambda - i t \right)^{a}.
$$ Et on souhaite regarder pour $\lambda$ grand. Et de là y a du travail encore je pense, notamment pour le logarithme complexe. Déjà comme $\lambda >0$ je peux regarder la détermination principale. Je trouve que le module est $\lambda^{a}$. Je ne suis pas sûr d'être sur la bonne voie.
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Bonjour!
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