Exercice couple de variables aléatoires

Balta62
Balta62
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour tout le monde !
Je bloque sur l'exercice suivant.

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires admettant pour densité la fonction $f$ avec $f(x,y)=\dfrac{1_{0<y<x<1}}{x}$.
Je dois prouver que $Y=XV$ avec $V$ une variable aléatoire suivant la même loi que $X$.

J'ai prouvé que $X$ suivait une loi uniforme sur $[0;1]$, mais je ne vois pas vraiment comment montrer ensuite que $Y=XV$.
Si quelqu'un avait une piste, je suis preneuse. :-)
Merci d'avance.

Réponses

  • P.
    P.
    Tu veux dire que tu dois montrer que $Y\sim XV$ avec $X$ et $V$ uniformes sur [0,1] et independantes. Il est mieux de montrer quelque chose d'un peu plus fort: $(X,Y)\sim (X,VX)=(U_1,U_2).$ Puisque $x=u_1,\ v=\frac{u_2}{u_1}$ alors par jacobien $dxdv=\frac{du_1du_2}{u_1}$ ce qui montre que la densite de $(U_1,U_2)$ est la meme que celle de $(X,Y).$
  • marsup
    marsup
    Salut,

    Sans doute que pour avoir $Y = X V$, connaissant $X,Y$, on a le droit d'écrire $V = \frac{Y}{X}$.
    (c'est la définition de $V$, à vrai dire !)

    Ensuite, c'est un transfert de loi à deux variables depuis la loi conjointe.

    On s'accroche, on le fait, et on y arrivera !
  • Balta62
    Balta62
    D'accord, merci pour votre aide, cependant vous considérez le $C_1$-difféomorphisme $ [0;1]^2 \rightarrow F;~~ (x;y) \mapsto (x,xy)$ c'est ça ?

    Cependant j'ai un problème : je n'arrive pas à déterminer $F$ pour que cette application soit une bijection...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français