Une autre expression de f(x)
Bonjour tout le monde !
Je coince sur l'exercice suivant.
Soit $f$ une fonction continue et bornée et $\lambda>0$, il faut montrer que
$$
\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda n}\frac{(\lambda n)^k}{k!}f(\frac{k}{n})=f(\lambda).
$$ J'ai essayé naïvement le changement de variable $u=\lambda n$ pour essayer de faire apparaître le $\lambda$ à l’intérieur de $f$, sans aboutir à quelque chose finalement...
J'ai aussi exprimé l'expression précédente comme étant égale, grâce au théorème de transfert, à $ \lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{E}[f(\frac{X_n}{n})]$, où $X_n$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda n$, mais je ne vois pas non plus comment continuer.
Je ne vois pas comment faire apparaître $\lambda$ "à l'intérieur" de $f$ ni comment utiliser la continuité de $f$ et le fait qu'elle soit bornée, je suis donc un peu bloquée.
Si quelqu'un avait une piste je suis preneuse:-)
Merci d'avance.
Je coince sur l'exercice suivant.
Soit $f$ une fonction continue et bornée et $\lambda>0$, il faut montrer que
$$
\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda n}\frac{(\lambda n)^k}{k!}f(\frac{k}{n})=f(\lambda).
$$ J'ai essayé naïvement le changement de variable $u=\lambda n$ pour essayer de faire apparaître le $\lambda$ à l’intérieur de $f$, sans aboutir à quelque chose finalement...
J'ai aussi exprimé l'expression précédente comme étant égale, grâce au théorème de transfert, à $ \lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{E}[f(\frac{X_n}{n})]$, où $X_n$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda n$, mais je ne vois pas non plus comment continuer.
Je ne vois pas comment faire apparaître $\lambda$ "à l'intérieur" de $f$ ni comment utiliser la continuité de $f$ et le fait qu'elle soit bornée, je suis donc un peu bloquée.
Si quelqu'un avait une piste je suis preneuse:-)
Merci d'avance.
Réponses
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J'ai aussi exprimé l'expression précédente comme étant égale, grâce au théorème de transfert, à $ \lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{E}[f(\frac{X_n}{n})]$, où X_n suit une loi de Poisson de paramètre lambda n, mais je ne vois pas non plus comment continuer.
Oui, c'est une excellente idée (tu). Tu connais la notion de convergence en loi ? -
Oui, après je ne vois pas vraiment comment l'utiliser dans ce cas, peut m'intéresser à la convergence en loi de $\frac{X_n}{n}$ ? Je ne vois pas vraiment comment m'en servir par la suite.
Merci pour votre message -
Oui, exactement ! (tu)m'intéresser à la convergence en loi de $\frac{X_n}{n}$ -
Que dire de la limite en probabilité, donc en loi, de $\frac{X_n}{n}$ ? (penser à la loi faible des grands nombres/Bienaymé-Tchebychev)
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Il n'y a pas besoin de convergence presque-sûre (bien plus difficile !)
Juste de la convergence en loi (par B-Tch). Après, on utilisera le théorème du porte-manteau. -
C'est vrai, je vais rajouter l'adjectif faible. :-D
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(À noter que le même truc avec les polynômes de Bernstein marche encore mieux, pour $f:[0,1]\to\R$ continue, sans qu'il y ait besoin de supposer $f$ bornée !)
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@Poirot: Quel est l'énoncé de la loi faible des grands nombres que tu utilises? Pour moi les variables doivent être de même loi.
@marsup: Je ne vois pas non plus pourquoi invoquer le théorème de porte-manteau :-D Avec Bienaymé-Tchebychev, $\frac{X_n}{n}$ converge en proba vers $\lambda$ donc a fortiori en loi.
D'ailleurs pour ta remarque, si $f$ est continue sur le compact $[0, 1]$ alors elle y est aussi bornée. -
Ton $X_n$ est la somme des $n$ variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Bien sûr, c'est la même chose qu'invoquer BT.
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Je parle du porte-manteaux parce que dans les classes où j'ai enseigné, la convergence en loi ne se faisait pas par $\lim E[f(X_n)]$, mais par la convergence des fonctions de répartition là où la fdr limite est continue.
L'équivalence entre les deux est donnée par Porte-manteaux.
Ça ne m'avait pas échappé, et c'est en fait l'objet de ma remarque !D'ailleurs pour ta remarque, si f est continue sur le compact [0,1] alors elle y est aussi bornée. -
Merci beaucoup pour vos messages !
Si j'ai bien compris, pour $X_n$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda n$, on a bien $\mathbb{E}[\frac{X_n}{n}]=\frac{1}{n}\lambda n=\lambda$ et $Var(\frac{X_n}{n})=\frac{1}{n^2}Var(X_n)=\frac{\lambda}{n}$ et donc d'après l'inégalité de Bienaymé Tchebychev, pour tout $
\epsilon>0,\ \mathbb{P}(\vert X_n-\lambda \vert > \epsilon) \leq \frac{\lambda}{n\epsilon^2} \longrightarrow 0$ et donc $X_n/n$ converge en probabilité donc en loi vers $\lambda$. Ainsi $f$ étant bornée et continue, on obtient que $\lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{E}(f(\frac{X_n}{n})]=\mathbb{E}[f(\lambda)]=f(\lambda)$.
J'ai juste ? X:-(
[Pour $\LaTeX$, on encadre toutes les expressions mathématiques par des $\$$. AD] -
Tout bon (tu)
-
Oui, tout bon.
ça c'est le théorème du porte-manteaux qui l'assure.converge en probabilité donc en loi -
D'accord, merci pour votre aide !
Bonne journée. -
Il suffit de montrer cet énoncé pour des fonctions de la forme $x\mapsto e^{iax}$ où $a$ parcourt l'ensemble des réels. (Voir le théorème de Lévy).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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