Coefficients de Fourier

Balta62 · April 2021

Bonjour tout le monde.
Je planche depuis deux jours sur deux questions qui me posent problème.

Soit $h$ une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C},\ 2\pi$-periodique. Soient $(h^{°}(n))_{n \in \mathbb{Z}}$ ses coefficients de Fourier $(h^{°}(n)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{2\pi}f(t)e^{-int}dt)$.
Il faut montrer que si tous les coefficients de Fourier de $h$ sont nuls, alors $h$ est identiquement nulle.
J'ai pensé à utiliser l'identité de Parseval $\| h \| ^2=\sum_{n\in \mathbb{Z}}\vert h^{°}(n) \vert ^2$. Cependant je n'ai pas du tout l'hypothèse que $h \in L^2(\mathbb{T})$ donc je ne peux pas conclure, je suis un peu bloqué...

La seconde question : on suppose $h, C^1$ par morceaux : on note $(\alpha_k)_{k\in \{0,\ldots,p\}}$ une subdivision telle que pour tout $k\in \{0,\ldots,p-1\}$ la restriction de $h$ à $]\alpha_k;\alpha_{k+1}[$ est $C^1$.
On note $h'(\alpha_{k}^{-}) $ la limite à gauche de $h'$ en $\alpha_k$ et de manière analogue $h'(\alpha_{k}^{+}) $ la limite à droite de $h'$ en $\alpha_k$.
Enfin on pose $H$ le prolongement de $h'$ telle que $H(\alpha_k)=\frac{h'(\alpha_{k}^{-})+h'(\alpha_{k}^{+})}{2}$.
Je dois prouver que pour tout $n,\ H^{°}(n)=inh^{°}(n)$. Dans le cas où pour tout $k,\ h'(\alpha_{k}^{-})=h'(\alpha_{k}^{+}).$
J'arrive à obtenir le résultat grâce à une intégration par partie, mais lorsque $h'$ n'est pas continue, je n'arrive pas à voir comment faire...

Je vous remercie de m'avoir lu.

Borelline · April 2021

Bonjour !
Si $h$ est continue sur $[0,2\pi]$, a fortiori, $h^2$ est continue sur $[0,2\pi]$ donc borné donc $L^2(0,2\pi)$
A la rigueur, la vraie question serait de savoir pourquoi ça reste vrai pour $h \in L^1([0,2\pi])$.

Pour la seconde question :

$\int_0^{2\pi} H(t)e^{-int}dt = \sum_{k=0}^{p-1}\int_{\alpha_k}^{\alpha_{k+1}}H(t)e^{-int}dt = \sum_{k=0}^{p-1}\int_{\alpha_k}^{\alpha_{k+1}}h'(t)e^{-int}dt = \sum_{k=0}^{p-1}[h(t)e^{-int}]_{\alpha_k}^{\alpha_{k+1}} -in \sum_{k=0}^{p-1}\int_{\alpha_k}^{\alpha_{k+1}}h(t) e^{-int}dt $
$ = h(2\pi)-h(0) -in \int_{0}^{2\pi}h(t)e^{-int} dt$

La continuité de $h'$ ne sert pas, les valeurs aux bords de $[\alpha_{k},\alpha_{k+1}]$ sont "invisibles" car une intégrale sur $[\alpha_{k},\alpha_{k+1}]$ peut être vue comme une intégrale sur $]\alpha_{k},\alpha_{k+1}[$. Ce qui sert, c'est le fait que $h$ soit continue pour avoir $h(0) = h(2\pi)$

Balta62 · April 2021

Merci beaucoup pour votre réponse.

Je vois que pour la deuxième question, il suffisait d'utiliser Chasles, je me sens un peu idiot...8-)

Bonne journée.

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