définitions de la médiatrice

Soit $[AB]$ un segment et $I$ son milieu ($AI=IB$). Soit $\mathcal{D}$ la droite coupant $[AB]$ perpendiculairement en son milieu.

Soit $M$ un point de $\mathcal{D}$ et $M'$ son symétrique par rapport par rapport à $(AB)$. $D$ et $(AB)$ étant perpendiculaire, $M'$ est un point de $D$. Une symétrie conservant les longueurs, $I$ est le milieu de $[MM']$. Donc les diagonales de $AMBM'$ se coupent perpendiculairement en leur milieu et $AMBM'$ est un losange. D'où $AM=BM$. $M$ est donc à égale distance des extrémités du segment $[AB]$.

Réciproquement, soit $P$ un point à égale distance des extrémités du segment $[AB]$ et $P'$ son symétrique par rapport à $(AB)$. Une symétrie conserve les longueurs, donc $PA=PB=P'A=P'B$. Un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur est un losange (donc un parallélogramme). Donc les diagonales $[AB]$ et $[PP']$ du losange $APBP'$ se coupent perpendiculairement en leur milieu. $P$ est donc bien sur la perpendiculaire à $[AB]$ passant par le milieu de ce segment.\qed

Ou encore, AMB est un triangle isocèle, de base AB.

Je n'ai pas ri, car si une question suscite un débat, "haut" ou pas, c'est qu'elle présente (au moins) un aspect non trivial.

Ceci dit, l'apparente diversité des arguments d'Eric, Bisam et Gérard prouve qu'en fait tout dépend de l'axiomatisation sous-jacente. Le fond de la question me paraît résider dans la symétrie qui échange les deux points et que tant Eric que Gérard font jouer, c'est-à-dire une axiomatique liée aux transformations. Pythagore (ou la fonction scalaire de Leibniz) relèvent d'un recours direct aux axiomes des espaces euclidiens.

Bruno

Salut à tous,
Je ne suis pas sûr que la démonstration qui fait intervenir le losange ne soit pas exempte de cercle vicieux, au moins dans la réciproque... Car comment démontre-t-on qu'un losange a ses diagonales perpendiculaires, sinon précisément avec le fait qu'un point situé à égale distance de deux autres est sur la médiatrice du segment? Du coup, j'ai de nouveau cogité sur cette proposition... tellement "évidente" que j'avais presque oublié qu'elle se démontrait.

Pour la démonstration directe, il paraît raisonnable de poser comme axiome que la symétrie orthogonale conserve les distances (c'est un peu dans la perspective des programmes de collège, où la symétrie orthogonale est étudiée en 6e et où on admet un certain nombre de ses propriétés, dont celle là!).
Si un point M est sur la médiatrice de [AB] (droite passant par I milieu de [AB] et perpendiculaire à ce segment), alors puisque par définition A et B sont symétriques par rapport à (AB), et que M a pour symétrique lui-même, on peut dire que MA=MB. Pas besoin au passage de losange ici!

Réciproque...
Soit M un point tel que MA=MB.
Appelons I le milieu du segment [AB]. Les triangles AIB et AIC sont isométriques d'après le troisième cas (trois côtés de même longueur). Les angles AIB et AIC sont égaux. Comme leur somme fait 180°, ils sont chacun égaux à 90°. Le point M est bien sur la droite passant par I et perpendiculaire à (AB), soit la médiatrice.

On en revient là à une approche de la géométrie via les cas d'égalité, pardon d'isométrie, développée par exemple par Michel Carral dans son traité de géométrie publié chez Ellipse, ou tous les manuels antérieurs à la réforme des maths modernes.
Si l'on veut d'ailleurs la démonstration du théorème direct peut aussi être traitée via le deuxième cas d'égalité... Les triangles AIB et AIC étant isométriques....
Ce qui évacue mon postulat sur la symétrie orthogonale (ou le démontre, comme on veut)...
Tout ceci souligne l'importance, dans le démarrage de la géométrie, des axiomes que l'on choisit!

Bon voilà ce que je pense de ce problème. Et vous?

Bonne journée,

Christian Vassard




Peut-on se passer de la conservation de la longueur par une symétrie orthogonale?