$u_{n+1}= u_n^{u_n} $ (exercice)

Préambule
$|\sin ( \pi \alpha n)| <1$ donc $ \left| \dfrac{u_n}{\sin ( \pi \alpha n)} \right| > x^n > 1$ donc le terme ne tend pas vers zéro, donc la série diverge.
$\alpha \pi \ne [ \dfrac{\pi}{2} ] $ donc les termes de la série sont bien définis

2) Il me semble qu'il y a un fil avec cette suite.

a)

$
\begin{align*}
\phi(x) &=x^x \\
\phi'(x)&= ( \ln x +1 ) x^x \\
\end{align*}
$
$\phi$ est décroissante sur $]0, \dfrac{1} {e}]$ puis croissante sur $[ \dfrac{1} {e}, +\infty[$

Comme $u_0 < \dfrac{1} {e}$, $\phi(u_0) > \phi( \dfrac{1} {e} ) >\dfrac{1} {e} $ car $\phi(x) > x$ pour $0<x<1$.

b) Pour $0<r<1$ et $0<x<1$ , on a $0<x^r<1$ donc $\phi(]0,1[ = ]0,1[$ donc $(u_n)_n$ est majorée.
Si $u_0 < \dfrac{1} {e}$ alors $1> u_1 > \dfrac{1} {e}$ puis comme $\phi$ conserve le sens des inégalités ( est croissante) sur $[\dfrac{1} {e} , 1[$, $\forall k, u_{k+1} > u_k$ , donc $(u_k)$ croissante (à partir du rang $1$, (et majorée) donc converge.
Si $1 >u_0 > \dfrac{1} {e}$ , la suite sera croissante et majorée.

c)

$
\begin{align*}
u_1&= u_0^{u_0} \\
u_2&=u_0^{ u_0 \times u_1} \\
u_n &> u_0^{u_0 ^n} \\
u_n &> \exp ( u_0^n \ln (u_0) ) \\
u_0 &>1 \\
u_n &\to \infty
\end{align*}
$

3 a) $

\begin{align*}
w_n&= u_0^{ u_0^n } \\
u_n &> w_n \\
\dfrac{1}{u_n} &< \dfrac{1}{w_n} \\
\dfrac{w_{n+1} }{w_n} &= u_0^{ u_0^n (1-u_0) } \\
\dfrac{w_{n+1} }{w_n} &< 1 \\
\sum \dfrac{1}{u_n} &< \infty \\
\end{align*}
$


3b)


$
\begin{align*}
u_n &\underset{ n \to \infty} \to \infty\\
\exists N, u_N &> 2 \\
j >2 &\implies j^2 > j+1 \\
u_{N+1} &=u_N^{ u_N }\\
&> u_N^2 \\
&> u_N +1 \\
u_{N+k} &> k+1 \\
\end{align*}
$

3c)

$\begin{align*}
\forall k \leq 0, u_{N+1+k}&=u_{k+N}^{ u_{k+N} } \\
&> u_{N+1}^{k+1} \\
\dfrac{1}{ u_{N+1+k}} &< \dfrac{1}{ u_{N+1} u_{N+1}^k} \\
\sum_{k=0}^{ \infty}\dfrac{1}{ u_{N+1+k}} &< \sum_{k=0}^{ \infty} \dfrac{1}{ u_{N+1} u_{N+1}^k} \\
&< \dfrac{1}{ u_{N+1}} \sum_{k=0}^{ \infty}\dfrac{1}{ u_{N+1}^k} \\
&< \dfrac{1}{ u_{N+1}} C \\
\end{align*}
$


3 d) On multiplie 3c) par $u_n$

4 a)

$
\begin{align*}
\forall j, u_{j+1}&=u_j^{u_j} \in \mathbb{N} \\
\forall j, \forall k<j, u_k | u_j \\
\forall k, k <n, \dfrac{u_n}{u_k} \in \mathbb{N} \\
\end{align*}
$

4 a)

$
\begin{align*}
\sin( u_n \pi \alpha) &= \sin( u_n \pi \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{u_n} + u_n \pi \sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{u_n} ) \\
\sin( u_n \pi \alpha)&= \sin( u_n \pi \sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{u_n} ) \\
|\sin( u_n \pi \alpha)| & \leq | u_n \pi \sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{u_n} | \\
|\sin( u_n \pi \alpha)| & \leq u_n \pi \sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{u_n} \\
& \leq\dfrac{ \pi C }{ u_n^{u_n -1} } \\
\end{align*}
$


4 b )

$x^{u_n} u_n^{u_n -1} = \dfrac{ u_n} {x}$

4 c)

$\ln( x^{u_n} u_n^{u_n -1} )= (n+1) \ln x + k \ln (k+1)$ car $u_n > k+1$, ce qui montre la divergence.


5 a)
La somme partielle est un entier ( 4a).
5 b)

D'après 3d) , $q u_n \sum_{k=n+1}^{ \infty} \dfrac{1}{u_k} \to 0$ mais est un entier. Absurde.

J'ai posé la question sur Maths Stack Exchange.

Cela clôt le fil.