Sous-variété

Attention l'intersection de deux sous-variétés n'est pas toujours une sous-variété (et quand elle l'est le calcul de sa dimension n'est pas nécessairement évident).

Ta première idée

Ratyl a écrit:

Pour montrer que S est une sous-variété je me suis dis qu'il fallait montrer que cet ensemble S est égal aux zéros d'une submersion :
C'est à dire S = F-1({0}) ou f est une fonction de R^3 dans R^(3-dimS).

est la bonne.

Je te conseille plutôt la submersion
\[
\begin{array}[t]{cccl}
f :& \R^3 & \longrightarrow & \R^2 \\
& (x,y,z) & \longmapsto & (2(x+1)y + (x-1/2)z\,,\, xy+2x - z)
\end{array}


\] Pour l'espace tangent, tu es sûr que tu ne sais rien d'autre ? Par exemple que c'est un espace vectoriel et quelle est sa dimension ? Et accessoirement comment on peut le trouver quand on a une submersion ?

Bonjour, je n'ai pas vérifié tes calculs, mais s'ils sont justes, tu sais que le lieu singulier de ton système de deux équations est la réunion de deux droites.

Il reste à s'assurer que ces deux droites n'intersectent pas l'ensemble solution. Génériquement, c'est le cas, car ton ensemble solution est de dimension 1, codim = 2, et ton lieu singulier aussi, donc ils doivent s'intersecter en dimension -1, codim=4. (3 inconnues, 4 équations)